¿Representación de series infinitas para raíces de polinomios?

Question

¿Dado un polinomio $p(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a0$, puede cada raíz del polinomio se representa como siendo una función de$\sum{k=0}^\infty b_kb_ka_0,\dots,a_n$ usando solamente operaciones elementales de aritméticas y toma raíces?

Answer 1

¿No relacionadas con este teorema ? Como entiendo la pregunta, la OP pregunta ya puede ser resoluble por radicales, y Teorema de Abel afirma que para ecuaciones polinómicas de grado $n \geq 5$ allí no es ninguna solución general.

Answer 2

La parte difícil es conseguir una buena estimación a priori $\Omega\subset{\mathbb C}$ de conjunto $S$ de las raíces. A partir de cualquier $z0\in\Omega$, por ejemplo, con coordenadas racionales, regla$$z{n+1}:=z_n-{p(z_n)\over p'(z_n)}\qquad(n\geq 0)\ , de Newton, es decir, $$b_0=z0, \qquad b{n+1}:=-{p(z_n)\over p'(zn)}\qquad(n\geq 0),$$ provides a series $\sum{k\geq 0} b_k$converging to a point$\zeta\in S $where the$b_k $depend rationally on the coefficients of$p $(and the chosen point$ z_0$).

Hay un famoso libro de Smale en esto: "El Teorema fundamental del álgebra y la complejidad de la teoría", Boletín de matemáticas americano sociedad ${\bf 4}$ (1981), 1: 36.

Answer 3

Creo que esto es cierto, al menos formalmente, si se permite que el $b_i$ a coeficientes en $\overline{\mathbb{Q}}$. Esto es debido a que, si $K$ es algebraicamente cerrado campo de la característica $0$, entonces el campo de Puiseux de la serie con coeficientes en $K$ también es algebraicamente cerrado, y por la iteración de esta construcción para cada coeficiente de $a_i$ creo que conseguir el resultado deseado de una manera abstracta, aunque no estoy seguro de lo que uno puede decir acerca real (en oposición a formal) de convergencia.