Problemas de movimientos específicos de una ecuación de Lyapunov

Question

Deje $A$ $2n\times 2n$ real de la matriz con la siguiente estructura \begin{equation} A = \left(\begin{matrix} 0 & -I \\ K & S \end{de la matriz}\right) \end{equation} con todas las sub-matrices de tamaño $n\times n$: $I$ es la matriz identidad, $K$ es simétrica positiva definida y $S$ es diagonal, pero en singular. Estoy interesado en el (numérico) de la solución de la constante de tiempo de la ecuación de Lyapunov para el $2n\times 2n$ matriz de R: \begin{equation} R A^\text{T} + A R = \left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & \Gamma \end{de la matriz}\right) \end{equation} donde $\Gamma$ es una diagonal y singular $n\times n$ real de la matriz.

Sin embargo, sólo necesito un par de elementos de a $R$. Más específicamente, la escritura

\begin{equation} R = \left(\begin{matrix} X & C \\ C^\text{T} & V \end{de la matriz}\right) \end{equation} todo lo que realmente queremos son las entradas de la diagonal de a $V$ (también se $n\times n$).

Existe de todos modos yo podría reducir este problema a algunos otros (probablemente Sylvester) ecuación de $V$ o, mejor aún, sólo que es la diagonal? Yo realmente no saben cómo abordar este problema.

Answer 1

Sólo hacer la matriz de multiplicaciones da cuatro ecuaciones: $$\begin{align} C^T - C &=0 \\ XK + CS &= V \\ KX - SC &= V \\ KC - CK + VS + SV &= \Gamma \end{align}$$ la última ecuación por supuesto, le da $VS + SV = \Gamma - KC + CK$, por lo que si sabemos lo $C$ es que obtener una ecuación de Sylvester para $V$. Si sustituimos la LHS de la segunda y tercera ecuación en lugar de $V$ en la cuarta ecuación, se obtiene: $$K(XS + C) + (SX - C)K=\Gamma$$ y asumiendo $X$ es simétrica, obtenemos $(XS + C)^T = SX - C$, por lo que el establecimiento $B = XS + C$, la ecuación se convierte en $$KB + B^TK = \Gamma$$ que queremos resolver para $B$. Ahora, esto no es realmente un estándar de Sylvester ecuaciones debido a que la matriz que buscamos es transpuesto, pero hay métodos para resolver este tipo de ecuaciones.

Una vez $B$ se ha encontrado obtenemos $$C = \frac{1}{2}(B-B^T)$$ Desde $B$ es la suma de una antisimétrica ($C$) y una matriz simétrica ($XS$), la parte antisimétrica de $B$ se $C$.

Por lo tanto, ahora se puede calcular la RHS en $$VS + SV = \Gamma - KC + CK$$ y luego resuelve $V$ como un estándar de la ecuación de Sylvester.

Así que, usando este método, usted acaba de resolver dos $n \times n$ Sylvester-ish ecuaciones en lugar de un $2n \times 2n$ ecuación. Puede haber algo más inteligente que acechan en el aquí, pero no he encontrado todavía.