Estoy aprendiendo cuaterniones de trabajo. Por esa razón he preparado un sistema de coordenadas basado en cuaterniones aplicado a dos dimensiones topológicas colectores de la forma de una botella de Klein (se puede adaptar fácilmente a otros como una cinta de Moebius, o un toro, por ejemplo).
Básicamente, podemos representar la botella de Klein por su encolado diagrama:
Y vamos a agregar información adicional a los puntos en los que "habitan" en la superficie del colector. Un punto de la superficie estará representada por una cuádrupla de la siguiente manera:
$$a+bi+cj+dk$$
Donde:
- $a$ representa el lado. Cualquier punto de la superficie de la botella tiene un equivalente en el punto en el lado interno, por lo que $a = 0,1$ ($0$ lado exterior, $1$ lado interior). Un punto puede ser en algunos de los tanto en interior o el exterior de los lados.
$i$ representa la posición horizontal $x$ en el encolado diagrama ($i \in [0,I]$ donde $I$ es la longitud de la botella Klein diagrama)
$j$ representa la posición vertical $y$ en el encolado diagrama ($i \in [0,J]$ donde $J$ es la altura de la botella de Klein diagrama)
Finalmente, $k$ va a ser una propiedad adicional de que el punto, en mi caso lo he denominado el "spin", ha $4$ posiciones, ($k \in [0,3]$). Podría ser visto como una especie de orientación local asociada a la pegadura diagrama (Norte,Sur,Este,Oeste).
Esto proporciona un sistema de coordenadas con la suma y la multiplicación. Como estamos usando cuaterniones, las reglas estándar de los cuaterniones se aplican:
$$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$
Además, la multiplicación escalar y multiplicación de cuaterniones están disponibles y los cuaterniones multiplicación de rotación de las leyes de espera:
$$ij=k, ji=-k, jk=i, kj=-i, ki=j, ik=-j$$
El Hamilton producto se define como el estándar:
$$(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)\cdot(a_2+b_2i+c_2j+d_2k) = (a1a2-b1b2-c1c2-d1d2)+(a1b2+b1a2+c1d2-d1c2)i+(a1c2-b1d2+c1a2+d1b2)j+(a1d2+b1c2-c1b2+d1a2)k$$
Para visualizar cómo los puntos se mueven a lo largo de la botella de Klein, vamos a definir una colisión de juego. Ponemos al azar $7000$ puntos en una Botella de Klein, visualizado como se ve en el encolado diagrama. Los puntos amarillos son en el lado exterior y los puntos azules en el lado interior. Los puntos se representan en función de la tirada ($k$) como pequeños puntos, círculos, estrellas y "más" (+) símbolos ($k=0,1,2,3$ respectivamente). Se están moviendo siguiendo el paseo aleatorio.
Colisión de normas:
Cuando dos puntos de $P_1,P_2$ de los ubicados en el mismo lado y con el mismo giro chocan (ellos tienen exactamente los mismos valores de $a,i,j,k$), desaparecen y generar un nuevo punto de $P_1+P_2$ (cuaterniones suma).
Cuando dos puntos de $P_1,P_2$ de las diferentes están en la misma posición y giro chocan (ellos tienen exactamente los mismos valores de $i,j,k$), desaparecen y generar un nuevo punto de $P_1 \cdot P_2$ (cuaterniones de Hamilton producto).
Esta es la forma en que se ve cuando la anchura y la altura del diagrama es $100$ unidades y ponemos $7000$ puntos en la superficie del colector:
Y esta es la animación de la evolución de la primera $500$ pasos de una prueba:
(*) No se puede agregar una versión más grande de la animación debido al peso de la imagen, una versión más grande puede ser visto aquí. El código de Python también está disponible, por favor, usar y modificar libremente.
Debido a las propiedades de la botella de Klein:
Cuando un punto se va por el lado derecho, se va para el otro lado de la botella de Klein, por lo que aparecerán desde el lado izquierdo del diagrama con el lado opuesto de color y el $j$ posición invertida.
Cuando un punto se va por el lado izquierdo, se va para el otro lado de la botella de Klein, por lo que aparecerán desde el lado derecho del diagrama con el lado opuesto de color y el $j$ posición invertida.
Cuando un punto va desde la parte superior o inferior, se mantiene en el mismo lado actual (interior o exterior), por lo que aparecerán en la parte opuesta de la región de la actual lado (Superior $\to$ parte Inferior o la parte Inferior $\to$ Superior).
A medida que el tiempo avanza, las colisiones ocurren y el número de puntos disminuye.
Me gustaría hacer las siguientes preguntas:
Son las propiedades de los cuaterniones bueno para este tipo de sistemas de coordenadas?
Hay referencias documentadas de este tipo de aplicaciones? (cuaterniones aplicado como sistemas de coordenadas para topológico de colectores). Cualquier reflexiones son muy apreciados.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Este sistema de coordenadas no parece natural.
El primer problema es que usted está usando $4$ continuo dimensiones para representar dos continuo y dos discretas dimensiones si he entendido correctamente.
La segunda, ni la suma ni la multiplicación están bien definidos en este conjunto. Se puede definir además modulo algunos de celosía, pero la multiplicación de no estar bien definido modulo dicho entramado.
Por ejemplo, si usted toma el coeficiente de $i$ mod $7$ y el coeficiente de $j$ mod $5$, entonces al multiplicar $bi$$cj$, obtenemos bien $bck$ o $-bck$. Pero no tiene sentido multiplicar un mod $7$ número con un mod $5$ número y el orden de los asuntos, y no obtener algo de mod $3$ que es lo que parece que quería).