¿Caracterización teórica numérica del coseno?

Question

Sea$f:[0, \pi/2]: \rightarrow \mathbb{R}$ una función infinitamente diferenciable, con$f(0)=1, f(\pi/2)=0$, tal que$f(\pi \mathbb{Q}) \cap \mathbb{Q} = \{0,1/2,1\}$.

Los resultados clásicos muestran que la función coseno satisface estas propiedades. ¿Es único en este sentido?

Dudo que sea la única función de este tipo, pero no pude anotar ninguna otra o presentar un argumento que demuestre la existencia de otras personas. Disculpas si esto resulta ser elemental, no pude encontrar nada en línea sobre esto.

Answer 1

Otras funciones de este tipo son$$f_s(x)=sx(x- \pi /2)(x- \pi /6)+ \cos x$$ where $ s \ neq 0$ is any algebraic number ($ f_0$ is just $ \ cos $).

De hecho, para todos los$r \in \Bbb{Q} \cap [0, 1/2]$ que tienes$$f_s(\pi r ) = s\pi^3 r(r-1/2)(r-1/3) + \cos ( \pi r) = \mbox{transcendental} + \mbox{algebraic}$ $ es un número trascendental a menos que$r \in \{ 0, 1/2, 1/3 \}$.