Estabilidad de la solución periódica

Question

Estoy atascado en esta pregunta:

$$x'(t) = x(x-p(t))(x-1),$$ where $p$ is $1$-periodic and $0< p(t) <1$ for all $t$. We want to show the existence of a STABLE periodic solution $\mu$ such that $0< \mu(t) <1$ for all $t$.

Si requerimos $0< x_0 <1$, donde imponemos la condición inicial que $x(0) = x_0$, entonces es claro que existe una solución de $\mu$ que cumple la educación a distancia con esta condición inicial. Estándar resultado también muestra la existencia de periódicos de soluciones. Mi pregunta es cómo mostrar la estabilidad de este tipo de soluciones por parte de la definición de estabilidad de los periódicos de soluciones.

Answer 1

Bien, permítanme explicar mi idea en extensión completa. Primero de todos, en lugar de considerar de primer orden de la educación a distancia, considero que un sistema equivalente de ecuaciones diferenciales ordinarias:

$$ \dot{x} = x(x - p(\tau))(x - 1), \;\; \dot{\tau} = 1 . $$

Es fácil comprobar que las curvas integrales de la original de la educación a distancia son los mismos como parte integrante de las curvas de este sistema. También, de esta forma conseguimos que el campo vectorial que se define por este sistema es de 1-periódico en $\tau$: si $(\tilde{x}(t), t)$ es una solución, a continuación, $(\tilde{x}(t), t + k)$ también es una solución para cualquier $k \in \mathbb{Z}$. Esta simetría, naturalmente, nos permite estudiar el comportamiento de las trayectorias sólo en la franja de $(t, x) \in \lbrack 0, 1 \rbrack \times (-\infty, +\infty)$ debido a que el comportamiento de cualquier trayectoria puede ser "pegado" el uso de los "datos" de la franja.

A partir de aquí voy a asumir que $p(\tau)$ es una función continua. Esto nos permite usar dos teoremas de inmediato:
1. Existencia y unicidad teorema. La singularidad parte significa simplemente que las curvas integrales ya sea coinciden o tienen intersección vacía.
2. Denotar por $w(t; w_0) = (\tau(t), x(t))$ la solución que satisface a IVP $w(0; w_0) = w_0 = (\tau_0, x_0)$. A continuación, la función $F(t, u) = w(t; u)$ es continua w.r.t. $t$ $u$.

El propósito de la siguiente parte es doble: esto demuestra que hay un 1-solución periódica y se demuestra que es asintóticamente Lyapunov estable. No sé qué tipo de teorema se usa para mostrar que no es un movimiento periódico, pero creo que mi explicación va a ser muy simple. He aquí una ilustración:

Como he dicho antes, elija $a$$b$, de tal manera que $0 < a < p_{min} < p_{max} < b < 1$ mantiene. Usted puede simplemente comprobar que el vector de campo puntos a lo largo del límite de la misma manera como en la figura. Esta configuración nos permite decir que todas las trayectorias que se inician en $(\tau, x) \in \lbrace 0 \rbrace \times \lbrack a, b \rbrack$ puede dejar a $(\tau, x) \in \lbrack 0, 1 \rbrack \times \lbrack a, b \rbrack$ sólo a través de la $(\tau, x) \in \lbrace 1 \rbrace \times \lbrack a, b \rbrack$. Para ser absolutamente precioso, usted puede comprobar el vector de campo en puntos de $(1, a)$$(1, b)$, ver que las trayectorias que comienzan a salir de ellos $(\tau, x) \in \lbrack 0, 1 \rbrack \times \lbrack a, b \rbrack$ en el tiempo hacia atrás y a la conclusión de que todas las trayectorias de escape de la tira sólo a través de $(\tau, x) \in \lbrace 1 \rbrace \times ( a, b )$.

Es hora de definir el concepto de "tiempo-1 mapa". Nos definimos por la fórmula

$$ f(x) = F(1, (0, x)).$$

Esta es una asignación continua de segmento $\lbrack a, b \rbrack$ dentro de sí mismo. Si estábamos interesados únicamente en la comprobación de la existencia de solución periódica (es decir, que ha $f(x) = x$), podríamos utilizar una Brouwer de punto fijo teorema(que se dice que esas punto fijo existe). Pero necesitamos investigar la estabilidad y la podemos usar más simples argumentos. Tenga en cuenta que$f(a) > a$$f(b) < b$, lo $f(a) - a > 0$$f(b) - b < 0$; debido a $f$ es continua, existe un punto de $\hat{x}$ donde $f(\hat{x}) - \hat{x} = 0$. Por lo tanto, hemos demostrado que la $f(x)$ tiene punto fijo y a nuestro sistema de Odas tiene 1 solución periódica.

Pero podemos probar más! Recordar que he dicho que en este caso $f(x)$ es monótonamente creciente de la función. Es muy fácil de demostrar. Elija cualquier punto de $(0, x^\ast)$ y considerar la curva integral que pasa por este punto. Como ya sabemos, llegará a una intersección de la línea de $\tau = 1$ a punto de $(1, f(x^\ast)$. Ahora, considere el dominio cerrado $G$ que está delimitada por las líneas de $\gamma$, $\lbrace 0 \rbrace \times \lbrack a, x^\ast \rbrack$, $\lbrack 0, 1 \rbrack \times \lbrace a \rbrace$ y $\lbrace 1 \rbrace \times \lbrack a, f(x^\ast) \rbrack$. Por construcción no es sólo una manera de escapar de la $G$ - sólo a través de la $\lbrace 1 \rbrace \times \lbrack a, f(x^\ast) \rbrack$ (debido a escapar a través de $\gamma$ violaría el teorema de unicidad). Pero esto simplemente significa que para cualquier $x \in (a, x^\ast)$ siguiente $f(x) < f(x^\ast)$. Y esto vale para cualquier $x^\ast \in (a, b \rbrack$, lo que simplemente significa que $f(x)$ es el aumento de la función.

Pero, ¿qué significa todo esto para la estabilidad de movimiento periódico? Aquí está otro ejemplo:

Es un diagrama de telaraña para nuestro asignación $f$. Es fácil demostrar que las iteraciones de cualquier punto del segmento de $\lbrack a, b \rbrack$ convergen a un punto fijo. Esto significa que después de cada período, cualquier otra solución "empieza" en la sección transversal más cerca y más cerca de la solución periódica. El uso de algunos $\epsilon$-$\delta$ la maquinaria se puede demostrar que la solución periódica es asintótica de Lyapunov estable, pero ya tenemos la clave del hecho de que el punto fijo en la sección transversal es atractivo. Después de que la prueba debe ser bastante simple.

EDITAR

Como @Michael señaló, mi ilustración no es la única posibilidad para el diagrama de telaraña. Podría haber otros puntos fijos así: en algunos de ellos $y = f(x)$ podría touch $y=x$ y en algunos de ellos podrían ser de intersección transversalmente. La observación clave es que debe existir un punto fijo $\hat{x}$ tal que $f(x) > x$ $x \in \lbrack \hat{x}-\varepsilon, \hat{x} )$ y $f(x) < x$ $x \in ( \hat{x}, \hat{x} +\varepsilon \rbrack$ . Qué tal punto fijo existe? Es debido a estos hechos:
1) $y = f(x)$ se inicia en el $y > x$ parte de la plaza de $\lbrack a, b \rbrack \times \lbrack a, b \rbrack$ y termina en el $y < x$ parte;
2) definitivamente tenemos puntos fijos para $y = f(x)$.

Por reductio ad absurdum pudimos demostrar que si no tenemos esa puntos fijos, entonces la curva de $y = f(x)$ se queda sólo en $y \geqslant x$ parte de la plaza que contradice el primer hecho.

El punto fijo, con las propiedades de ser atractivo y corresponderá a la estabilidad solución periódica.

Answer 2

Bueno, así que aquí es una prueba de que $f$ es continua (que se ocupa de un detalle en Evgeny la prueba de la existencia de un punto fijo de $f$).

Programa de instalación:

Recordar que la educación a distancia es: $$ x' = x(x-p)(x-1) $$ Suponga $p$ es integrable y hay valores de $p_{min}, p_{max}$ tal que para todos los $t$ hemos $$ 0<p_{min}\leq p(t) \leq p_{max} < 1 $$
Además imponer un cargo adicional leve supuestos, de modo que las soluciones con un determinado estado inicial existen, son únicos, y no de la cruz (tal vez necesitemos $p$ continuo para que?)

Deje $a,b$ ser valores que $0<a<p_{min}<p_{max}<b<1$. Definir Evgeny función del $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ tal que para cada una de las $z \in [a,b]$, el valor de $f(z)$ se define como $x(1)$ para una solución de $x(t)$ a la educación a distancia con condición inicial $x(0)=z$. Queremos mostrar a $f$ es continuo en el $[a,b]$.

Prueba:

Fix $z \in [a,b]$. Arreglar un pequeño valor de $\delta \neq 0$ tal que $z+\delta \in [a,b]$. Queremos mostrar que $|f(z+\delta)-f(z)| \leq |\delta|D$ para alguna constante positiva $D$. Definir $x(t)$ como la educación a distancia con la solución de $x(0)=z$. Definir $y(t)$ como la educación a distancia con la solución de $y(0)=z+\delta$. Definir $g(t) = y(t) - x(t)$, por lo que el $g(0) = \delta$. Desde $y=x+g$ obtenemos: $$ y' = x' + g' = x(x-p)(x-1) + g' $$ Por otro lado, desde la $y$ satisface la educación a distancia, se obtiene: $$ y' = y(y-p)(y-1) = (x+g)(x+g-p)(x+g-1) $$ Igualando las dos expresiones, se obtiene: $$ x(x-p)(x-1) + g' = (x+g)(x+g-p)(x+g-1) $$ y así: $$ g' = y' - x' = g\underbrace{[g^2 - gp + 3gx - g - 2px + p + 3x^2 -2x]}_{R(t)} $$ Es decir, para todos los $t$ hemos $ g'(t) = g(t)R(t) $. Ahora, ya sabemos (desde arriba los comentarios) que cualquier solución a la educación a distancia con la condición inicial en $[a,b]$ debe permanecer en $[a,b]$. Por lo tanto, $x,y, g$ están delimitadas por todo el tiempo, y hay una cierta constante positiva $C$ tal que $|R(t)| \leq C$ todos los $t$. Para todos los $t$ tenemos $g(t) \neq 0$ (desde $\delta\neq 0$ y soluciones no se cruzan). Por lo tanto: $$ \frac{g'(t)}{g(t)} = R(t)$$ Así que para todos los $t \geq 0$: $$ \log[|g(t)|/|g(0)|] = \int_0^t R(\tau)d\tau $$ Así $$ |g(t)| = |g(0)|e^{\int_0^t R(\tau)d\tau} = |\delta| e^{\int_0^tR(\tau)d\tau} \leq |\delta| e^{Ct} $$ Por lo tanto: $$ |f(z+\delta) - f(z)| = |y(1) - x(1)| = |g(1)| \leq |\delta| e^{C} $$ $\Box$