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Question

Yo he estado luchando con lo siguiente:

$$\lim_{x\to\infty} ((x^6+x^5)^{1/6}-(x^6-x^5)^{1/6})$$
Trató de factoring $x^{5/6}$ y luego usar L'hopital - nada, que me tiene intentado multiplicando por el conjugado, pero consiguió sucio - por lo que tengo miedo de la álgebra o hay una mejor manera.

Answer 1

Cuando tienes tipo indeterminado de $\infty-\infty$ necesita racionalizar la expresión para obtener la fracción de la forma: $$\lim{x\to\infty}\left(\sqrt[6]{x^5+x^4}-\sqrt[6]{x^5-x^4}\right)=\lim{x\to\infty}\dfrac{\sqrt[3]{x^5+x^4}-\sqrt[3]{x^5-x^4}}{\sqrt[6]{x^5+x^4}+\sqrt[6]{x^5-x^4}}=\lim{x\to0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x\sqrt[6]{1+x}+x\sqrt[6]{1-x}}$ $ aplicar ahora regla $$\lim{x\to0}\dfrac{\dfrac13\cdot\dfrac1{(1+x)^{\frac23}}+\dfrac13\cdot\dfrac1{(1-x)^{\frac23}}}{\sqrt[6]{1+x}+x\cdot\dfrac16\cdot\dfrac{1}{(1+x)^{\frac56}}+\sqrt[6]{1-x}-x\cdot\dfrac16\cdot\dfrac{1}{(1-x)^{\frac56}}}=\dfrac{\frac13+\frac13}{1+1}=\dfrac13$ $ de L'Hopital

Answer 2

Una forma más (sin L'Hospital):

Después de conseguir

$$ \lim{x \to 0} \frac {(1+x) ^ {\frac {1} {3}} - (1-x) ^ {\frac {1} {3}}} {x((1+x) ^ {\frac {1} {6}} + (1-x) ^ {\frac {1} {6}})} $$ multiplicar numerador y denominador por $(1+x)^{\frac{2}{3}} +(1-x)^{\frac{2}{3}} + ((1+x)(1-x))^{\frac{1}{3}}$ a $a^3 -b^3$ en el numerador: $$ \lim{x \to 0} \frac{2} {((1+x) ^ {\frac {1} {6}} + (1-x) ^ {\ frac {1} {6}}) ((1+x) ^ {\frac {2} {3}} +(1-x) ^ {\frac {2} {3}} + ((1+x)(1-x))^{\frac{1}{3}})} $$ ahora tomar el límite para obtener el resultado.