Valor propio de una matriz

Question

Deje $A$ $n\times n$ matriz y deje $I$ $n\times n$ matriz identidad. Mostrar que si $A^{2} = I$, e $A \neq I$, $\lambda =-1$ es un autovalor de a $A$. Este problema no parece que demasiado difícil de resolver, pero estoy atascado cerca de la final. Esto es lo que he hecho hasta ahora.

Desde $A^{2}=I$, entonces, por definición, $Ax=\lambda x$ donde $x$ es un autovector de a $A$ $\lambda$ es un autovalor de a $A$. De ello se desprende que $x=Ix=A^{2}x=A(Ax)=A(\lambda x)= \lambda(Ax)=\lambda^{2}x$. (Ahora que iba a utilizar el hecho de que desde $A \neq I$,$x\neq 0$, por lo que tenemos que $\lambda = 1$ o $-1$). Esto es donde estoy atascado.

Answer 1

Sugerencia: Si $-1$ no es un valor propio de $A$, entonces $A+I$ es invertible. ¿Qué es $(A^2-I)(A+I)^{-1}$?

Answer 2

Si $A^2=I$, $A$ satisface el polinomio $t^2-1=(t-1)(t+1)$. Por lo tanto, el polinomio mínimo de a $A$ divide $(t-1)(t+1)$.

Si el polinomio mínimo es $t-1$, entonces eso significa que $A-I=0$, lo $A=I$; pero estamos suponiendo que la $A\neq I$, por lo que este no es el caso.

Eso significa que a la mínima que el polinomio es divisible por $t+1$; ya que cada factor irreducible de la mínima polinomio se divide el polinomio característico, se deduce que el $t+1$ divide el polinomio característico de a $A$, y que, por ende, $-1$ es un autovalor de a $A$, como se desee.

Answer 3

Sugerencia: Lo que tienes hasta ahora es que si $\lambda$ es un valor propio $A$, entonces el $\lambda=\pm1$. Esto es correcto.

Ahora Supongamos que el valor propio $\lambda=-1$ no ocurren y tratar de averiguar lo que podría ser la forma canónica de Jordan de $A$.

Answer 4

Ahora usted tiene λ = 1 o −1. Ahora Supongamos λ = 1 entonces conseguir Ax = x (desde Ax = λx) ahora sabemos x≠0 que significa A = I, pero se sabe que A≠I, contradicción por lo que λ =-1 es el valor propio