Baby Rudin - Teorema 1.35 Cauchy Schwartz

Question

Al leer al bebé Rudin (p.15) me he quedado perplejo ante la siguiente dificultad.

Dejemos que $A=\sum|a_j|^2, B=\sum|b_j|^2, C=\sum a_j \overline{b}_j$ :

$$\begin{align} \sum|Ba_j-Cb_j|^2 &= \sum(Ba_j-Cb_j)(B\overline{a}_j-\overline{Cb_j}) \\ &= B^2\sum|a_j|^2{\bf -B\overline{C}\sum a_j\overline{b}_j-BC\sum \overline{a}_j b_j}+|C|^2\sum|b_j|^2 \\ &=B^2A-B|C|^2=B(AB-|C|^2) \end{align}$$

Tenga en cuenta que la segunda línea de la ecuación, el libro indica que el término medio 2 juntos a ser cero. ¿Por qué es eso?

Answer 1

No del todo. Son los tres últimos términos de la segunda línea los que se reducen a $-B|C|^{2}$ . Para ver esto, observe que $\sum \overline{a_{j}}b_{j}=\sum\overline{a_{j}\overline{b_{j}}}=\overline{\sum a_{j}\overline{b_{j}}}=\overline{C}$ . Por lo tanto,

$$ \begin{aligned} &-B\overline{C}\sum a_{j}\overline{b_{j}}-BC\sum\overline{a_{j}}b_{j}+|C|^{2}\sum|b_{j}|^{2}\\ =&-B\overline{C}C-BC\overline{C}+C\overline{C}B\\ =&-BC\overline{C}\\ =&-B|C|^{2} \end{aligned} $$