Cómo encontrar este $x^3-5x+10=2^y$

Question

que $x,y$ es positivo entero y tal %#% $ #% encuentran todas las $$x^3-5x+10=2^y$.

desde $x,y$ $ no $ $$x=1\Longrightarrow 1^3-5+10=6$de % que $$x=2,2^3-5\cdot 2+10=8=2^3$ $x=2,y=3$ $$$x=3,LHS=27-15+10=22$ $$$x=4,LHS=64-20+10=54$ $$$x=5,LHS=125-25+10=110$ $$$x=6,LHS=216-30+10=236$ $

Encontrar %#% $ #%

Solo encuentro $$\cdots$ esta solución.

tal vez esto tenga otras solution.and este problema es de la Olimpiada Matemática problemas gracias

Answer 1

Algunos experimentos revela que $\pmod{7}$ es el camino a seguir:

$$x^3-5x+10=2^y$$

\begin{align} \begin{array}{|c|c|} \hline x \pmod{7} & x^3-5x+10 \pmod{7} \\ \hline 0 & 3 \\ \hline 1 & 6 \\ \hline 2 & 1 \\ \hline 3 & 1 \\ \hline 4 & 5 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline 6 & 0 \\ \hline \end{array} y \begin{array}{|c|c|} \hline y \pmod{3} & 2^y \pmod{7} \\ \hline 0 & 1 \\ \hline 1 & 2 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline \end{array} \end{align}

Vemos que debemos tener $3 \mid y$, así que vamos a $y=3z$, luego

$$x^3-5x+10=2^{3z}=(2^z)^3$$

Esto significa que el lado izquierdo es un cubo perfecto, que no puede suceder para grandes valores de $x$ como podemos enlazar entre consecutivos perfecto cubos. De hecho, para $x \geq 3$, tenemos

$$(x-1)^3<x^3-5x+10<x^3$$

(se reduce a $0<3x^2-8x+11=x(3x-8)+11$ $10<5x$ que son verdaderas para $x \geq 3$)

Así que no hay soluciones para $x\geq 3$. Ahora es muy sencillo comprobar que $x=1$ falla y $x=2$ da el único entero positivo solución de $(2, 3)$.

Answer 2

Primera $(10,4)$ $(10,6)$ no son soluciones, ni es $(10,y)$ para cualquier entero $y$, ya que el $(10)^3-5(10)+10=2^y$ implicaría $5\mid2^y$, una contradicción.

Ahora, reorganizar la ecuación dada para obtener $$ (x^2-5)x=2(2^{y-1}-5)\etiqueta{1} $$ Ahora bien $x=2k+1$ o $x=2k$ para algunos entero $k>1$; deje $x=2k+1$, sustitución directa da $$(4k^2+4k+1-5)(2k+1)=2(2^{y-1}-5)$$ o $4(k^2+k-1)(2k+1)=2(2^{y-1}-5)$, una contradicción, ya que esto implicaría $2\mid5$.

Por lo tanto, $x$ es incluso y $x^2-5$ es impar (desde $d=\gcd(x^2-5,x)\mid5$, de modo que $d=1$ o $5$ si $d=5$ obtenemos una contradicción a partir de la ecuación anterior, por lo tanto $d=1$.

CASO 2. $x=2k$, en este caso, $k$ es par o impar,

i) $k$ es aún, por lo tanto $x=4t$, para algunas de las $t>1$, la sustitución en el reordenado ecuación da $[(4t)^2-5]\cdot4t=2(2^{y-1}-5)$, una contradicción, ya que implica $2\mid5$.

ii) $k$ es impar, $x=4t+2$, sustituto:
$[(4t+2)^2-5]*(4t+2)=2(2^{y-1}-5)$ o
$(64t^3+96t^2+28t-2)=2(2^{y-1}-5)$ o
$(64t^2+96t+28)t=2^y-8$ , de modo que $2\mid t$, por lo tanto $t=2r$$x=8r+2$; la sustitución da
$[(8r+2)^2-5]\cdot(8r+2)=2(2^{y-1}-5)$ o
$[(8r+2)^2-5]\cdot(4r+1)=(2^{y-1}-5$ o
$64r^3+48r^2+7r+1=2^{y-3}$

A partir de aquí tenemos a $r \equiv 9 \pmod{16}$ o $r=16s+9$ y, por tanto,$x=128s+74$, la elección de valores enteros de a $s$ puede ayudar a reducir la búsqueda a lo largo de con $x=8r+2$ donde $r$ es impar.

Answer 3

Esto es útil:

Hensel el Lema:

Deje $f(x)$ ser una sola variable polinomio con coeficientes enteros. Deje $p^k\neq 1$ ser algunos no trivial de potencia principal, y supongamos que tenemos un número entero $r$ que es una solución a $f(r)\equiv 0\mod p^k$. Entonces el conjunto de soluciones a $f(x)\equiv 0\mod p^{k+1}$ puede ser calculado como:

1. Si $f'(r)\not\equiv0\mod p$, entonces la única solución es $x=r+tp^k$ donde$t\equiv-(\frac{f(r)}{p^k})f'(r)^{-1}\mod p$$0\leq t<p$.
2. Si $f'(r)\equiv0\mod p$$f(r)\equiv 0\mod p^k$, ninguna de las $x\equiv r\mod p^{k-1}$ ( $x=r+tp^k$ $0\leq t<p$ ) es una solución.
3. Si $f'(r)\equiv 0\mod p$$f(r)\not\equiv0\mod p^k$, entonces no hay soluciones.