Podemos abuso de los patrones de tráfico para llegar a casa antes?

Question

Tuve una acalorada discusión con mi compañero de trabajo el día de hoy, y me preguntaba si alguien de aquí podría arrojar algo de luz sobre esta situación. El post es un poco largo, pero quería poner todo mi intuición por escrito para que todos ustedes sólo necesitan para ayudar en lo mínimamente posible.

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Yo vivo en un pueblo llamado Mathelia, y cada día yo viajo desde mi lugar de trabajo en $x=0$ a mi casa a las $x=1$. He estado a partir de mi vuelve a casa a $t=0$, y esto me lleva a casa a las $t=2$, ya que hay un poco de tráfico.

Mi amigo me dijo que el tráfico de calmas hacia abajo a lo largo del tiempo, y si yo fuera a salir después de las $t=0$, yo podría ser capaz de conmutar una menor cantidad de tiempo. Él es, de hecho, y si me dejo a $t=1$, termino en casa en aproximadamente el $t=2.5$, el ahorro de $0.5$ tiempo de mi viaje.

Teorema: nunca voy a ser capaz de llegar a casa antes de $t=2$.

Prueba: supongamos que llego a casa en algún momento $t<2$. Entonces, en algún punto me gustaría haber coincidido en el tiempo y la posición con el "coche fantasma" que dejó exactamente en $t=0$. Desde la posición y el tiempo son los mismos, el tiempo que queda para el resto del viaje debe ser el mismo, y por lo tanto tengo que llegar a casa a las $t=2$.

Mi pregunta es esta: ¿es posible salir en un momento $t>0$ y aún llegan a casa a las $t=2$?

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Puedo hacer las siguientes suposiciones. Supongamos que tenemos un poco de tráfico de la función $f(x,t) > 0$ lo que nos da el tráfico de $f$ (en millas/hora; $f$ realmente nos dice la velocidad que puede viajar, con alto $f$ siendo de bajo tráfico y viceversa) en cada punto de $0 \leq x \leq 1$$0 \leq t$. Suponemos que $f$ es continua y diferenciable en todas partes en esta región.

Mi primer pensamiento fue que si permitimos $f(x,t) = 0$ algunos $x$$t$, se podría dejar el $f(x,t) = 0$$t \leq 1$, y luego tener el $t > 1$ porción completa de la continuidad y la diferenciabilidad. Esto significaría que me gustaría ir, literalmente, en ninguna parte de la primera hora, en la que el punto de dejar en $t=1$ me haría coincidente con el "coche fantasma" de inmediato.

Pero desde $f(x,t) > 0$, no sé cómo abordar este problema. Creo que hay algo raro, porque si sabemos que $f(x_1, t_1) = c$, este valor de $c$ nos dice que "camino" tomamos la superficie de la $f$. Si $c$ es grande, entonces tenemos un pequeño aumento en el $t$ con el gran aumento en el $x$; si $c$ es pequeña, entonces tenemos un pequeño aumento en el $x$ con el gran aumento en el $t$. Esto me hace sentir como todo el sistema puede ser descrito por un sólo parámetro: $t_0$, o cuando se inicia el viaje.

Yo la razón de que todo lo que desde allí debe ser determinista: usted sabe $x_0 = 0$$t_0$, así que usted sabe el valor inicial de $f$. Dependiendo $f$, los valores de $x$ $t$ variación ($f$ le dirá el valor local de $\frac{dx}{dt}$, creo), y puede trabajar en un nuevo valor de $f$.

Entonces, la pregunta es ¿hay múltiples caminos que se entrecruzan el estado $x=1, t=2$?

Creo que hay tal vez un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias puedo escribir, pero no sé cómo traducir "dado $f$, hay un camino donde se $t_0 > 0 \text{ and } (x = 1, t = 2) \text{ is part of the solution curve}$" en matemáticas.

Esto es cuando yo en realidad dejado de trabajar para mi vuelve a casa, y he escrito esto.

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ACTUALIZACIÓN

Después de pensar en esto un poco más, creo que lo que estoy modelado se ve algo como:

$$\frac{dx}{dt} = f(x,t), x(t_0)=0$$

Como sabemos $f$$t_0$, deberíamos ser capaces de encontrar la curva de $x(t)$ lo que nos da nuestra posición en cualquier momento $t$. Entonces tenemos que encontrar la $t_f$ tal que $x(t_f) = 1$.

La pregunta entonces es: ¿podemos encontrar múltiples $t_0$ tal que $t_f = 2$? Tal vez alguien bien versado puede responder si esto es posible, o cómo podríamos elegir $f$ ejemplo de que esto es posible.

ACTUALIZACIÓN $2$%

Déjame hacer mi pregunta mucho más explícito, sin la información de antecedentes.

Tengo una función de $f(x,t)$, lo que le da la velocidad que les permite viajar en una posición $x$ y un tiempo de $t$ ($0 \leq x \leq 1$, $0 \leq t$).

Sabemos que las siguientes:

• Si te deja en $t = 0$$x = 0$, se llega a la $x = 1$$t = 2$.
• Si te deja en $t = \delta$$x = 0$, usted nunca será capaz de llegar antes de $t = 2$.

El segundo punto indica que no podrían ser algunas de las $\delta$, lo que le permite llegar exactamente a $t = 2$.

Mi pregunta es cómo, dado $f(x,t)$, podemos determinar si es o no un $\delta$ existe?

Podría ser cierto que para el no $f(x,t)$ esta satisfecho?

Answer 1

Deje $\delta >0$ ser el retraso en la salida de su tiempo de trabajo. También, podemos modelo de su permanencia en el tiempo de viaje $T$ como una función de la hora actual y su posición actual $(t,x_t): T(t,x_t)$. Vamos a suponer que $x_t$ es continua (no teletransportación permitido!) y monótonamente creciente (no retroceso).

Sus compañeros de trabajo conjetura (vamos a llamar a $H$) es que:

$$\exists \delta >0: \delta+T(\delta,0)<T(0,0)=2$$

Esto supone que las dos rutas son independientes (es decir, esperando a salir un poco más tarde le permite utilizar un sistema completamente diferente de la carretera). Sin embargo, si estamos usando la misma carretera, a continuación, $H$ implica una contradicción.

Deje $x_t$ ser la posición de un coche que deja al $\delta=0$ $y_t$ ser la posición de un coche retrasado por algunos $\delta>0$ tal que $H$ es verdadero (sus dos "sombra" de los coches). A continuación, obtenemos

$$ \delta+T(\delta,0)<T(0,0) \implies \exists t: x_t=y_t$$

Este resultado es debido al hecho de que los caminos de la $x_t,y_t$, son monótonamente creciente y continua:

Deje $q=\delta+T(\delta,0)<2$

$$x_0=y_0=0, \;\;x_q=y_2=1 \implies \exists s\in [0,2]: x_s>y_s$$

También, $$ \delta>0 \implies \exists s\in [0,2]: x_s<y_s$$

Tomados en conjunto, podemos ver que:

$$\exists a,b\in [0,2]: y_a-x_a <0,\; y_b-x_b>0$$

El último paso indica que la función $z_t=y_t-x_t$ (que es continua por la virtud de $x_t,y_t$ continua) alcanza valores positivos y negativos sobre el dominio $t\in[0,2]$.

Por el Teorema del Valor Intermedio

$$\exists m\in[0,2]: z_m=0 \implies x_m=y_m$$

Ahora viene la contradicción:

$$x_m=y_m \implies T(m,x_m)=T(m,y_m) \implies x_{m+T(m,x_m)}=y_{m+T(m,y_m)}$$

En palabras, esta dice que si $x$ $y$ nunca se cumplen, que llegarán a casa en el mismo tiempo. Por lo tanto, para todos los $\delta$ satisfacción $H$, hemos obtenido el siguiente resultado:

$$\delta+T(\delta,0)=T(0,0) \;\forall \delta>0:H$$

Esto se contradice directamente con $H$, por lo tanto $\neg H$ es cierto:

$$\forall \delta>0 \;\;\delta+T(\delta,0)\geq T(0,0)$$

Parafraseando a Seinfeld, podríamos llamar a esto el Secreto para nadie Fast Lane Teorema ;-)

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La existencia de $\delta$ $f(x,t)$

Deje $f(x,t)$ la velocidad en función de la posición y el tiempo. Entonces tenemos:

$$x'=f(x,t)$$

Este es un lugar general de la ecuación diferencial. No mucho más que decir, hasta que se hizo específicos. Ahora, supongamos que usted puede resolver esta ecuación diferencial para obtener la $x(t;\delta)$. Entonces usted necesita para comprobar lo siguiente:

$$ \exists (\delta,t)\in[0,2]: x(t;\delta)=x(t;0)$$

De nuevo, sin ser específico, no podemos ir mucho más allá. Sin embargo, esta es la prueba general de si ese $\delta$ existe dado un general $f(x,t)$

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Simple Modelo De Tráfico

El OP ha proporcionado una buena prueba de que la suavidad de $x_t$ implica $\delta + T(\delta,0)>T(0,0)$. Si nos relajamos la suavidad requisito, podemos lograr la $\delta + T(\delta,0)=T(0,0)$ algunos $\delta>0$. A continuación es un simple modelo de tráfico de una carretera de partida en $x=0$ y terminando en $x=1$.

Deje $a>0,b \geq 1, c\leq a/b$

$$f(x,t)= \left\{ \begin{array}{lcc} a & x \leq ct \\ \\ a/b,& x>ct \\ \end{array} \right.$$

¿Qué es $T(t,x)$ aquí? Depende de los valores de $a,b$$c$: Ahora, $b=1$ o $c<\frac{a}{b}$ va a llevar a los escenarios donde nunca nos ponemos al corriente, ya sea porque la velocidad de circulación es constante, o porque vamos a terminar hasta emparejar el coche fantasma' de la velocidad antes de coger.

También, $a<c$ no puede pasar por definición. Por lo tanto, nos quedamos con el último caso de $b>1,c=\frac{a}{b}$.

Caso: $b>1,c=\frac{a}{b}$

Si $x<ct$, entonces nosotros tenemos que encontrar cuánto tiempo tomará para golpear la parte inferior de la velocidad del tráfico (si alguna vez), antes de llegar a la casa $(x=1)$:

$$x+a\Delta t_{x,t} = c(t+\Delta t_{x,t}) \implies \Delta t_{x,t} = \frac{ct-x}{a-c}$$

Nuestra posición en este punto se $x^*=x+a\Delta t_{x,t}$. Si $x^*>1$,$\Delta t_{x,t} = \frac{1-x}{a}$, por lo que podemos combinar estos requisitos:

$$\Delta t_{x,t}= \left\{ \begin{array}{lcc} \min\left\{\frac{1-x}{a}, \frac{ct-x}{a-c}\right\} & x \leq ct \\ \\ 0& x>ct \\ \end{array} \right.$$

Nuestro tiempo restante será:

$$T(t+\Delta t_{x,t},x^*)=\frac{1-x^*}{a/b}$$

Por lo tanto, nuestro tiempo total es:

$$ T(t,x)=\Delta t_{x,t} + \frac{1-(x+a\Delta t_{x,t})}{a/b}$$

Permite calcular la hora de llegada de nuestro coche fantasma:

$$T(0,0)=\frac{b}{a}$$

Ahora, la hora de llegada de nuestro "retraso" de coche es:

$$\delta + T(\delta,0) = \delta+\min\left\{\frac{1}{a}, \frac{c\delta}{a-c}\right\}+\frac{1-a\min\left\{\frac{1}{a}, \frac{c\delta}{a-c}\right\}}{a/b}$$

La aplicación de nuestras suposiciones, obtenemos:

$$\delta + T(\delta,0) = \delta+\min\left\{\frac{1}{a}, \frac{\delta}{b-1}\right\}+\frac{1-a\min\left\{\frac{1}{a}, \frac{\delta}{b-1}\right\}}{a/b}$$ Necesitamos demostrar

$$\exists \delta>0: \delta + T(\delta,0) = \delta+\min\left\{\frac{1}{a}, \frac{\delta}{b-1}\right\}+\frac{1-a\min\left\{\frac{1}{a}, \frac{\delta}{b-1}\right\}}{a/b} = \frac{b}{a}$$

Escenario 1: $\frac{\delta}{b-1} > \frac{1}{a}$

$$T(\delta,0)=\delta+\frac{1}{a}+\frac{1-a\frac{1}{a}}{a/b} = \delta+\frac{1}{a}$$

Ahora

$$\frac{\delta}{b-1}>\frac{1}{a}\implies \delta > \frac{b-1}{a} \implies \delta + \frac{1}{a} > \frac{b}{a}$$

Así, podemos ver que nunca vamos a encontrar con otro coche fantasma si $\delta > \frac{b-1}{a}$

Escenario 2: $\frac{\delta}{b-1} \leq \frac{1}{a}$

$$T(\delta,0)=\delta+\frac{\delta}{b-1}+\frac{1-a\frac{\delta}{b-1}}{a/b}=\frac{b}{a}$$

Así, por $\delta \leq \frac{b-1}{a}$ nos va a ponerse al día con el coche fantasma, a condición de que el coche fantasma, es en el extremo de la parte lenta del tráfico! (me.e, claro vela detrás del coche fantasma).

Answer 2

Usted está por encima de pensamiento. La hora a la que llegue a casa en un día determinado, dadas las pautas para el resto de coches, no es una función decreciente de $t_0$, el tiempo de salir del trabajo. El hecho de que es no decreciente de la siguiente manera a partir de su "coche fantasma" argumento. Sin embargo, habrá intervalos que resultan en el mismo tiempo. Por ejemplo, si usted golpea una luz roja, no importa si usted llega justo después de que se volvió de color rojo o justo antes de que se volvió verde. Usted termina en el mismo punto detrás de la luz, y usted recibirá en casa al mismo tiempo.

Que dijo la especulación tiempo probablemente sería mejor utilizado en no pensar en esta como una línea recta ", y siempre siguiendo el mismo camino" problema, sino más bien en pensar en ello en términos de lo que es la ruta mejor. Lo que hace que el problema mucho más complicado. Sin embargo, la necesidad de información en tiempo real de muchos caminos que no están actualmente en sugerirá buscando una fuente de datos que otras personas están recogiendo. Esto a su vez podría conducir a la pragmática de la aproximación de la instalación de Waze y siguiendo sus instrucciones.

Tienen la buena suerte de trayecto!

Answer 3

Definir la distancia de la casa, a partir de tiempo $t=t_0$$x_{t_0}(t)$. Entonces, para el caso 1, ha $x_{0}(0)=1$, e $x_{0}(2)=0$, y para el caso 2 tiene $x_{1}(0)=1$ (e $x_{1}(1)=0$) y $x_{1}(2.5)=0$.

Ahora, $x'_{t_0}(t)\leq0$ debería ser obvio. Por lo que su función de distancia es una disminución (no es estrictamente decreciente) en función del tiempo. Usted también sabe, que si $x_{a}(t)=x_{b}(t)$,$x'_{a}(t)=x'_{b}(t)$, debido a que su velocidad sólo depende de su posición actual y el tiempo, no cuando usted comenzó.

Ahora, definir una nueva función, $d(t)=x_{0}(t)-x_{1}(t)$, la distancia entre dos viajeros, uno de partida en $t=0$ y una partida en $t=1$. A partir de lo que ya hemos escrito, sabemos que $d(0)=0$, $d(1)=x_0(1)$ (que estará entre 0 y 1), y $d(2.5)=0$.

Podemos calcular el $d'(t)=x'_0(t)-x_1'(t)$, que puede ser positivo o negativo. Sin embargo, si $d(t)=0$,$d'(t)=0$, y por lo tanto los pasajeros permanecer juntos si se cumplen. No es posible para $d$ a cambio de signo.

Answer 4

Nunca vamos a tie$^*$ el coche fantasma.

$^*$Mientras $\frac{\partial f}{\partial x}$ es continua.

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$f(x,t)$ nos da la velocidad que puede viajar en la posición $x$ y el tiempo de $t$. Entonces podemos escribir la ecuación diferencial de primer orden:

$$\frac{dx}{dt} = f(x,t)$$

Tenemos dos curvas que nos importa: el coche fantasma, donde la condición inicial es $x(0) = 0$, y la comparación de coche, donde la condición inicial es $x(\delta) = 0$.

Sabemos que si nuestra comparación coche se cruza con el coche fantasma en cualquier punto a lo largo de su trayectoria, la comparación coche, a continuación, seguir exactamente el mismo camino que el coche fantasma, y llega a su casa al mismo tiempo.

Digamos que la comparación del coche y el coche fantasma se cruzan en $x = x_i, t = t_i$

La ecuación diferencial se convierte entonces en:

$$\frac{dx}{dt} = f(x,t), \ x(t_i) = x_i$$

Mientras $f(x,t)$ es continua (dado) y $\frac{\partial f}{\partial x}$ es continua (se supone), nuestra existencia y unicidad teoremas pulsado durante este primer fin de la educación a distancia.

Por lo tanto, existe exactamente una solución que obedece $f(x,t)$ y pasa a través del punto de $(t_i, x_i)$, es decir, la ruta de acceso del coche fantasma.

Ya sabemos de antemano que no podemos vencer el fantasma, y ahora nos han demostrado que no hay ninguna ruta de acceso de la intersección de la fantasma, llegamos a la conclusión de que el establecimiento $x(\delta) = 0$ $\delta > 0$ resultará en nosotros de llegar a casa después de que el coche fantasma.

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La última conclusión es, dejando después de la hora punta puede hacer disminuir el tiempo de viaje, usted nunca va a llegar a casa antes de que el coche fantasma.

Answer 5

En la vida real, nunca se puede atar el coche fantasma, porque los coches en una carretera vienen en una orden! Mientras viaja por el camino que podría tomar hasta el coche fantasma, pero desde el coche fantasma comenzó a primera va a estar siempre por delante de o relacionada con usted, lo que se traduce en estar delante en un solo carril de la carretera.

Configuración de un lado, vemos que en la vida real modelo hay una manera muy fácil de coger el coche fantasma: si alguna vez se detiene. De hecho, para cada intervalo de tiempo que existe una función que permite empate, que puede ser muy fácilmente construido por tener el coche fantasma ir a mitad de camino, a continuación, detenga y espere a que se ponga al día, y luego ambos siguen.

Pero lo que realmente quiero saber si ¿cómo puede usted saber si existe una $\delta$ $f(x,t)$ el cual es mucho más difícil pregunta. Hay funciones para las que no hay tal vacío existe, cualquier monótona creciente (en ambas variables) la función de trabajo como el coche fantasma, siempre está viajando más rápido que tú. Con el fin de determinar si la captura de arriba, usted necesita encontrar un $a,b$ tal que $$\int_0^b f(x(t,0),t)dt=\int_a^b f(x(t,a),t)dt$$ these integrals tell you exactly where the two cars are at time $b$ when the delayed car started at time $$. The function $x(t,s)$ tells you where you are at time $t$ if you started at time $s$ y se puede encontrar mediante la integración de una manera similar.

No hay ninguna manera abstracta responder a la pregunta de si la igualdad se mantiene, y espero ad hoc métodos sería necesario para responder a una función en particular, pero esto parece no intratable pregunta si $x$ depende de $t$ en una manera agradable (lo que debe). Mediante un equipo de evaluación y los métodos de aproximación numérica, encontrar un par de $(a,b)$ no debería ser demasiado difícil para el equipo.