"Arclength" parametrización de una superficie

Question

Debido a un arbitrario parametrización de una curva diferenciable $r: R\rightarrow R^n$ en términos de alguna variable $t$, podemos volver a parametrizar (aunque tal vez no en forma cerrada) $r$ en términos de su arclength $s$. Esto le da una mano a la representación, donde como $s$ se incrementa en 1, nos movemos 1 unidad a lo largo de $r$ en $R^n$.

Es es 1) y 2) relativamente sencillo hacer esto para superficies? I. e. si $r: R^m \rightarrow R^n$ es diferenciable podemos volver a parametrizar $r$ , de modo que la mudanza de 1 unidad en $R^m$ nos mueve 1 unidad a lo largo de la superficie de la $r$ en $R^n$?

Answer 1

No, esto último significaría que cualquier colector es localmente isométrica a un espacio Euclidiano con su plana métrica. Esto es cierto sólo en la dimensión $1$ por la media de arclength parametrización como usted ha señalado, la primera obstrucción que viene a mi mente es de la curvatura.