Probabilidad de que el triángulo sea agudo

Question

Un triángulo se forma eligiendo al azar tres puntos distintos de la circunferencia de un círculo y uniéndolos.

¿Cuál es la probabilidad de que el triángulo formado sea un triángulo agudo?

Answer 1

Una pista: Consideremos el círculo unitario, centrado en $(0,0)$ y fijar el primer punto como $A=(-1,0)$ . Considere el punto $B$ en el cuadrante II. Debe haber una región del círculo donde podamos poner nuestro tercer punto, $C$ , de tal manera que $\triangle ABC$ es agudo.

Rotula los puntos del círculo opuestos $A$ y $B$ como $A'$ y $B'$ respectivamente. Teorema de Tales y el Teorema del ángulo inscrito decirnos cómo cambian los ángulos del triángulo cuando $C$ se mueve alrededor del círculo. Esto nos muestra que la región (mostrada en verde) donde $C$ hace $\triangle ABC$ agudo es el arco entre $A'$ y $B'$ . La región donde $C$ forma un triángulo obtuso se muestra en rojo.

Esto es cierto si $B$ está en el cuadrante I.

Ahora bien, restringe $B$ al cuadrante II de nuevo pero etiquetar su reflejo en el $y$ -eje como $D$ . Rotula el punto opuesto a $D$ en el círculo como $D'$ y dibujar la región donde $ADC$ forma un triángulo agudo de color azul discontinuo.

Pista (a): ¿Cuál es el tamaño medio de los arcos $A'B'$ y $A'D'$ como proporción del círculo?

Pista (b): ¿Qué nos dice esto sobre el tamaño medio de la región donde el triángulo es agudo, si seleccionamos al azar un punto del semicírculo superior?

Pista (c): ¿Esto se generaliza a cuando $B$ está en el semicírculo inferior? Y para cuando $A$ no es $(-1,0)$ ?

Answer 2

Elige los puntos $A$ , $B$ , $C$ distribuidos independiente y uniformemente en el círculo.

Ahora podemos ver sobre bases geométricas que

El ángulo en $C$ es obtuso si y sólo si $C$ se encuentra en el mismo lado de un diámetro a través de $A$ como $B$ lo hace, y $C$ está más cerca de $A$ que $B$ es.

Las dos condiciones aquí son independientes, y cada una de ellas tiene probabilidad $\frac12$ . Por lo tanto, la probabilidad de $C$ ser obtuso es $\frac14$ .

Con el mismo razonamiento la probabilidad de que cada uno de $A$ y $B$ es obtuso es $\frac14$ también.

Como un triángulo tiene como máximo un ángulo obtuso, podemos sumar las probabilidades, por lo que la probabilidad de que algunos el ángulo del triángulo es obtuso es $\frac34$ .

A a la derecha (o degenerado) se produce con probabilidad $0$ por lo que la probabilidad de un agudo triángulo es $1-\frac34=\frac14$ .

Answer 3

Un triángulo con sus vértices situados en una circunferencia es agudo si y sólo si contiene el centro del círculo . Entonces la respuesta es clara para ser $0.25$ . Consulte https://www.youtube.com/watch?v=OkmNXy7er84

Answer 4

Si está interesado en una respuesta que no utilice directamente los hechos utilizados en los enfoques, ciertamente más cortos, de JRen y Henning Makholm, considere la siguiente respuesta.

Elige los puntos $A, B$ y $C$ en el círculo unitario distribuidos de forma independiente y uniforme y que sus coordenadas sean $\,(\cos(\theta_1), \sin(\theta_1)), (\cos(\theta_2), \sin(\theta_2)) $ y $(\cos(\theta_3), \sin(\theta_3))$ respectivamente, donde $0< \theta_1 < 2 \pi, \,\theta_1 < \theta_2 < 2 \pi$ y $\theta_2<\theta_3 < 2 \pi$

Nuestro objetivo es expresar los ángulos $A, B$ y $C$ en términos de $\theta_i.$ Para ello, como en la imagen anterior, dibuje líneas desde $A$ a $O$ y de $B$ a $O$ entonces $\angle AOB = \theta_2 - \theta_1.$ A partir del teorema de la geometría plana que establece que el ángulo subtendido por un arco en el centro de una circunferencia es el doble del ángulo subtendido por en cualquier otro punto de la circunferencia, obtenemos que $\gamma = \angle ACB = \dfrac{\theta_2 - \theta_1}{2}.$

Repitiendo este proceso para los vértices $A$ también podemos ver que $\alpha = \angle BAC = \dfrac{\theta_3 - \theta_2}{2}$ y entonces podemos calcular $\beta = \angle CBA = \pi -\dfrac{\theta_3 - \theta_1}{2}.$

Por tanto, para que el triángulo sea acutángulo necesitamos que se cumplan tres condiciones: $\alpha < \frac{\pi}{2}, \beta < \frac{\pi}{2}$ y $\gamma < \frac{\pi}{2}.$

Reescribiendo estas condiciones en términos de la $\theta_i$ nos encontramos con que:

$\pi + \theta_1 < \theta_3 < \pi + \theta_2$ ,

$\theta_1 < \theta_2 < \pi + \theta_1$ y

$0 < \theta_1 < 2 \pi.$

Por lo tanto, tenemos que encontrar el volumen del $3-$ región dimensional descrita por las relaciones anteriores que lo hacemos mediante la siguiente integral triple:

$\begin{align}\displaystyle \int_{0}^{2 \pi}\int_{\theta_1}^{\pi + \theta_1}\int_{\pi + \theta_1}^{\pi+\theta_2}\mathrm{d}\theta_3 \, \mathrm{d}\theta_2\, \mathrm{d}\theta_1 & = \displaystyle \int_{0}^{2 \pi}\int_{\theta_1}^{\pi + \theta_1}(\theta_2 - \theta_1) \mathrm{d}\theta_2\, \mathrm{d}\theta_1 \\&= \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \left(\dfrac{\theta_{2}^{2}}{2} - \theta_{1}\theta_{2}\right)_{\theta_2 = \theta_1}^{\theta_2 = \pi + \theta_1}\mathrm{d}\theta_1 \\&= \pi^{3} \end{align}.$

Para hallar el volumen de la región admisible de la que se seleccionan los puntos, recordamos que por la forma en que dibujamos el diagrama, tenemos $0< \theta_1 < 2 \pi, \,\theta_1 < \theta_2 < 2 \pi$ y $\theta_2<\theta_3 < 2 \pi$ por lo que obtenemos la siguiente integral triple

$\begin{align}\displaystyle \int_{0}^{2 \pi}\int_{\theta_1}^{2\pi}\int_{ \theta_2}^{2\pi}\mathrm{d}\theta_3 \, \mathrm{d}\theta_2\, \mathrm{d}\theta_1 & = \int_{0}^{2 \pi}\int_{\theta_1}^{2\pi}(2\pi - \theta_2) \, \mathrm{d}\theta_2\, \mathrm{d}\theta_1\\& = \displaystyle \int_{0}^{2 \pi} 2\pi\left(2 \pi - \theta_1\right) - \left(\dfrac{4\pi^{2}- \theta_{1}^{2}}{2}\right)\mathrm{d}\theta_1 \\&= 4\pi^{3} \end{align}$

Por lo tanto, la probabilidad de obtener un triángulo agudo-angulado es $$\dfrac{\displaystyle \int_{0}^{2 \pi}\int_{\theta_1}^{\pi + \theta_1}\int_{\pi + \theta_1}^{\pi+\theta_2}\mathrm{d}\theta_3 \, \mathrm{d}\theta_2\, \mathrm{d}\theta_1}{\displaystyle \int_{0}^{2 \pi}\int_{\theta_1}^{2\pi}\int_{ \theta_2}^{2\pi}\mathrm{d}\theta_3 \, \mathrm{d}\theta_2\, \mathrm{d}\theta_1} = \dfrac{\pi^{3}}{4\pi^{3}}= \dfrac{1}{4}.$$

Nota: en el diagrama mostrado, el círculo tiene radio $3$ . Esto no importa para la solución.