Demostrando que $S=\{ x \in (X,\| \cdot \|) : \|x\| =1 \}$ es un conjunto cerrado.

Question

Ejercicio :

Demuestre que la esfera unitaria $$S=\{x \in (X,\|\cdot \|) : \|x\| =1\}$$ de un espacio normado, es un conjunto cerrado.

Intento :

Para que un conjunto sea cerrado, su complemento debe ser un conjunto abierto. Definamos el complemento de $S$ para ser :

$$S^c = \{ x \in (X, \|\cdot \|) : \|x\| <1 \}\cup\{x\in (X,\|\cdot\|):\|x\|>1\}$$

Nota : Tenemos NO todavía se me ha presentado el manejo de mapas para tales pruebas en nuestro curso de análisis funcional, así que puede que no sea el mejor enfoque para mi comprensión.

Pregunta : ¿Cómo se procedería a probar el hecho planteado en el ejercicio?

Answer 1

No puedes definir libremente el complemento de un conjunto. En este caso, $$S^\complement=\bigl\{x\in X\,|\,\|x\|>1\bigr\}\cup\bigl\{x\in X\,|\,\|x\|<1\bigr\}.$$ Sí, podemos demostrar que es un conjunto abierto, pero es más sencillo ver que $S$ es la imagen inversa del conjunto cerrado $\{1\}$ con respecto a la función continua $\|\cdot\|$ . De ello se desprende que $S$ está cerrado.

Answer 2

Puedes hacerlo:

• muestran que la norma $N:(X,||\cdot||)\to\mathbb{R}$ cartografía $x$ a $||x||$ es un mapa continuo,

• demostrar que la imagen inversa de un conjunto abierto por un mapa continuo sigue siendo abierto,

• reescribir $S^c$ como $N^{-1}(]-1,1[)\cup N^{-1}(]1,+\infty[)$ ,

• concluya.

Answer 3

Toma una secuencia convergente en la esfera y demuestra que converge en ella

Dejemos que $(x_{n})$ una secuencia convergente en $S$ Supongamos que $x_{n} \to y$

Veamos $y \in S$

$||x_{n}|| = 1$ $ \forall n \in \mathbb{N}$

$||.||$ es una función continua, entonces $1 = \lim_{n \to \infty} ||x_{n}|| = ||\lim_{n \to \infty}x_{n}|| = ||y||$

Entonces $y \in S$

Así que $S$ es un conjunto cerrado.

Answer 4

Aunque creo que es mucho más elegante utilizar la continuidad, he aquí un enfoque que no utiliza la continuidad:

Primero $x_0 \in \{x\in X \mid \Vert x\Vert < 1 \} = S_1^c.$ Tome $r = 1-\Vert x_0\Vert > 0.$ Entonces el balón abierto $$B(x_0, r) = \{ y \in X \mid \Vert x_0-y \Vert < r \}$$ está totalmente contenida en $S_1^c$ ya que para cualquier $y\in B(x_0,r),$ tenemos $$ \Vert y\Vert = \Vert x_0 - y\Vert + \Vert x_0 \Vert < r+\Vert x_0 \Vert = 1-\Vert x_0\Vert + \Vert x_0 \Vert = 1. $$ Por lo tanto, $S_1^c$ está abierto.

Ahora dejemos que $x_0 \in \{x\in X \mid \Vert x\Vert > 1 \} = S_2^c,$ y tomar $r = \Vert x_0 \Vert - 1 > 0.$ Entonces el balón abierto $B(x_0,r)$ está totalmente contenida en $S_2^c$ ya que para cualquier $y\in B(x_0, r)$ la desigualdad del triángulo inverso da $$ \Vert y \Vert \geq \Vert x_0 \Vert - \Vert y-x_0 \Vert > \Vert x_0 \Vert - r = \Vert x_0 \Vert - (\Vert x_0 \Vert - 1) = 1. $$ Por lo tanto, $S_2^c$ está abierto.

Siendo una unión de dos conjuntos abiertos, $S^c = S_1^c \cup S_2^c$ está abierto, por lo que $S$ está cerrado.