Álgebra lineal con funciones

Question

Básicamente mi pregunta es - ¿Cómo comprobar la independencia lineal entre funciones?

Que el grupo $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ Ser un grupo de fnciones de valor real.

Es decir $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})=\left\{ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\right\} $

Sean 3 funciones $f_{1},f_{2},f_{3}$ sea tal que

$\forall x\in\mathbb{R}\,\,\,f_{1}=e^{x},\,\,f_{2}=e^{2x},\,\,f_{3}=e^{3x}$

$W=sp(f_{1},f_{2},f_{3})$ qué es $dim(W)$ ?

¿Cómo abordar esta cuestión? (desde la perspectiva del álgebra lineal)

Sé que $\forall x\in\mathbb{R}\,\,\,W=\alpha e^{x}+\beta e^{2x}+\gamma e^{3x}$

Y para obtener la dimensión necesito encontrar la base de $W$

por lo que necesito comprobar si lo siguiente es cierto :

$\forall x\in\mathbb{R}\,\,\alpha e^{x}+\beta e^{2x}+\gamma e^{3x}=0\,\Leftrightarrow\,\alpha,\beta,\gamma=0$

Sin embargo, cuando $x=0$ Recibo $\alpha+\beta+\gamma=0$ lo que conduce a una cantidad infinita de soluciones.

¿Cómo abordar esta cuestión?

Answer 1

Tienes que comprobar si las funciones son independientes, como has dicho.

Una forma de hacerlo, que lo relaciona con cosas que probablemente ya sabes, es evaluarlo en varios puntos, como hiciste para $x=0$ .

Se obtiene una condición para $x=0$ . Se obtiene otra condición para $x=1$ y otro para $x=2$ .

Cada uno permitirá más de una solución, pero sólo tendrán una solución común, que es lo que usted busca.

Answer 2

Escriba a $$\alpha e^x + \beta e^{2x} + \gamma e^{3x} = 0$$ Puedes seguir adelante y cancelar un número positivo como $e^x$ Así que..: $$\alpha + \beta e^{x} + \gamma e^{2x} = 0$$ Supongamos que tiene alguna solución para esto con $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ no todo cero. Entonces, como usted dice $$ \alpha + \beta + \gamma = 0\qquad \qquad (1)$$ Porque esto debe ser cierto en $x = 0$ pero también debe ser cierto en $x = \ln n$ que da: $$ \alpha + \beta n + \gamma n^2= 0\qquad \qquad (2)$$ para cada $n > 1$ . Debería estar claro que esto es irresoluble excepto cuando todos son cero. Pero para insistir en el punto voy a continuar. Sustituyendo en $(1)$ da $\alpha = -\beta - \gamma$ que podemos introducir en $(2)$ para obtener $$ \beta (n-1) + \gamma (n^2 - 1)= 0$$ que debe ser cierto para todos $n > 1$ . Ahora pon, digamos, $n = 2$ y $n = 3$ para obtener el par de ecuaciones: $$ \beta + 3 \gamma = 0 \qquad 2\beta + 8\gamma = 0 $$ Esto resuelve $\beta = \gamma = 0$ .

Así que se demuestra que sus funciones son linealmente independientes.

Answer 3

Pista:

deje $e^x=y$ , $e^{2x}=y^2$ , $e^{3x}=y^3$ que tienes:

$\alpha y +\beta y^2+ \gamma y^3=0$

donde el $0$ en RHS es el polinomio cero .

Ahora bien: ¿cuándo un polinomio es el polinomio cero?

En general:

En $0$ en el RHS es el elemento neutro para la suma de funciones en el espacio vectorial, no simplemente el número $0$ y esto significa que es la función $f(x)=0\quad \forall x \in \mathbb{R}$ .

Answer 4

Sugerencia: Utilice Wronskian y demostrar que el Wronskian-Determinante no vansish.

Answer 5

Tiene que demostrar $$ \forall x\in\mathbb{R}:\alpha e^{x}+\beta e^{2x}+\gamma e^{3x}=0\Leftrightarrow\alpha,\beta,\gamma=0, $$

pero creo que el cuantificador sólo se aplica a la parte de la izquierda de la $\Leftrightarrow$ así: $$ \left(\forall x\in\mathbb{R}:\alpha e^{x}+\beta e^{2x}+\gamma e^{3x}=0\right) \Leftrightarrow\,\alpha,\beta,\gamma=0. $$

Así, por ejemplo $\alpha = -1, \beta = 1, \gamma = 0$ satisface $\alpha e^{x}+\beta e^{2x}+\gamma e^{3x}=0$ cuando $x=0$ , pero no satisface la ecuación para todos valores de $x$ .

Si tuvieras que demostrar $$ \forall x\in\mathbb{R}:\left(\alpha e^{x}+\beta e^{2x}+\gamma e^{3x}=0 \Leftrightarrow\,\alpha,\beta,\gamma=0\right) $$ entonces tendrías problemas, porque esa afirmación no es cierta; pero no es así como probamos la independencia de las funciones, así que no necesitas preocuparte por eso.