El número de ecuaciones necesarias para definir un rectángulo?

Question

Me he estado preguntando si existe algún tipo de norma fundamental (como n ecuaciones necesarias para resolver para n variables) que subyace a la aparente necesidad de las definiciones de diferentes formas.

Por ejemplo, para definir un ángulo recto del triángulo dado puntos en un plano, sólo tenemos que el ángulo derecho - sus características - por lo tanto podemos escribir una ecuación usando Pitágoras teorema de que la define:

$$AB^2 + AC^2 = BC^2$$

Sin embargo, ¿qué acerca de la definición de un rectángulo? Lo fundamental propiedades de un rectángulo de poseer? He probado la idea de ángulos rectos para cada uno de los vértices, pero parece que también se puede definir un cuadrado en sólo 3 ecuaciones. Por ejemplo:

$$AC=BD$$ $$AB=CD$$ $$AB^2 + AC^2 = BC^2$$

Así como:

$$AD=BC$$ $$AD^2 + BA^2 = BD^2$$ $$CD^2 + CB^2 = BD^2$$

Lo fundamental de la verdad requiere de tres propiedades para definir un rectángulo en términos de puntos en un plano? Está relacionada con la solución de un problema en n variables? Puede esta regla, si los hubiere, se extenderá a las formas en general en dimensiones arbitrarias?

Answer 1

Aunque no es exactamente lo que el OP quiere, yo sugeriría que la coordenada de enfoque. A continuación, el "triángulo de la ecuación" se convierte en un círculo la ecuación en la forma $x^2+y^2=R^2$ completo que define un círculo centrado en el punto de $(0,0)$.

Porque una de las esquinas, no hay nada más agradable ecuación de una plaza. Pero podemos hacer algunas "cuadrado" como formas de una manera similar, por medio de la ecuación:

$$x^{2n}+y^{2n}=R^{2n}, \qquad n>1$$

Aquí tenemos una ilustración para un par de $n$, comenzando con un círculo:

"Pero ninguno de estos son cuadrados!" - cualquiera diría, y estar en lo correcto.

Para definir un cuadrado, no puede simplemente utilizar una sola ecuación. Tendríamos que lidiar con la función valor absoluto.

Por ejemplo, aquí es un cuadrado con la diagonal $D$, girado por $\pi/4$:

$$|x|+|y|=D$$

Nos puede girar fácilmente este derecho de la espalda, y expandirla de manera que encaja con los otros:

$$|x+y|+|x-y|=a$$

Donde $a$ ahora es la longitud del lado.

Para un rectángulo (el editado pregunta) sólo necesitamos a escala de una de las coordenadas. Por un rectángulo con los lados $a$ e $b$ tenemos:

$$\left|\frac{x}{a}+\frac{y}{b} \right|+\left|\frac{x}{a}-\frac{y}{b} \right|=1$$

---

Para deshacerse de el valor absoluto, podemos tratar de cuadrar dos veces:

$$\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b} \right)^2+\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b} \right)^2+2\left|\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} \right|=1$$

$$\left(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b} \right)^2+\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b} \right)^2-1\right)^2=4\left(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} \right)^2$$

Por desgracia, como sucede a menudo con el cuadrado, obtenemos extra soluciones (las líneas discontinuas), que no se encuentran en el rectángulo original:

Answer 2

Pensar

$$(AC-BD)^2+(AB-CD)^2+(AB^2+AC^2-BC^2)^2=0.$$

Answer 3

Tenga en cuenta que con su $$AC=BD, AB=CD,AB^2+AC^2=BC^2$$ o

$$AD=BC, AD^2+AB^2=BD^2,CD^2+CB^2=BD^2$$

No conseguir una plaza, sólo conseguir un rectángulo.

Es necesario modificar las ecuaciones.

Sería útil si utiliza el valor absoluto de la plaza así.

Answer 4

La solución de la ecuación de $1-x^2=0$ es de dos líneas verticales, $x=\pm1$. Del mismo modo, $1-y^2=0$ da las líneas horizontales $y=\pm1$. Podemos combinar estos elementos para obtener un conjunto de cuatro líneas: $$(1-x^2)(1-y^2)=0$$ Para conseguir un rectángulo de esto tenemos sólo restringir el dominio de a $|x| \leq 1, |y| \leq 1$. Podemos hacer esto con raíces cuadradas: $$\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}=0$$

Answer 5

Varios congruencia área de relaciones aplicable. En general, si conocen de 3 piezas de información acerca de un triángulo, dos ángulos y un lado, dos lados y un ángulo, de 3 lados.

En La Geometría Euclidiana-

SAS: Dados dos lados de un triángulo y el ángulo que hacer, usted puede determinar los otros ángulos y el tercer lado. Esencialmente por el coseno de la regla.

AAS: Dados dos ángulos y un lado opuesto a uno de esos ángulos, se puede determinar el tercer ángulo y el resto de lado.

Hipotenusa de la pierna: Dada la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo, uno puede determinar los ángulos y la otra pierna.

CULO: caso Ambiguo. Dados dos lados y y no-ángulo incluido, sólo dos triángulos de seguridad a la congruencia puede ser formado.

Estos tienen implicaciones sobre otros polígonos así.

FYI: AAA sólo garantiza la similitud y la no congruencia en la Geometría Euclidiana.