¿Cuál es el entero más pequeño mayor que 1, de tal manera que $ \frac12 $ de ella es un cuadrado perfecto y $ \frac15 $ de ella es un perfecto quinto poder?

Question

¿Cuál es el entero más pequeño mayor que 1, de tal manera que $ \frac12 $ de ella es un cuadrado perfecto y $ \frac15 $ de ella es un perfecto quinto poder?

He intentado multiplicar cada cuadrado perfecto (hasta 400 por dos y comprobar si es una quinta potencia perfecta, pero aún así nada. No sé qué hacer en este momento.

Answer 1

El número es claramente un múltiplo de $5$ y $2$ . Buscamos el más pequeño, así que asumimos que no tiene más factores primarios.

Así que deja $n=2^a5^b$ . Desde $n/2$ es un cuadrado, entonces $a-1$ y $b$ son parejos. Desde $n/5$ es un quinto poder, $a$ y $b-1$ son múltiplos de $5$ . Luego $a=5$ y $b=6$ .

Answer 2

Aquí hay un enfoque muy poco sofisticado: Deje que $n$ ser el más pequeño de esos enteros. Entonces existen los números enteros $a$ y $b$ de tal manera que $n=5a^5$ y $n=2b^2$ . De ello se deduce que $a$ es un múltiplo de $2$ digamos $a=2a_1$ y $b$ es un múltiplo de $5$ digamos $b=5b_1$ . Luego $$n=2^5 \cdot5\cdot a_1^5 \qquad\text { and } \qquad n=2 \cdot5 ^2 \cdot b_1^2.$$ Esto a su vez muestra que $a_1$ es un múltiplo de $5$ digamos $a_1=5a_2$ y $b_1$ es un múltiplo de $2$ digamos $b_1=2b_2$ . Luego $$n=2^5 \cdot5 ^6 \cdot a_2^5 \qquad\text { and } \qquad n=2^3 \cdot5 ^2 \cdot b_2^2.$$ Esto a su vez muestra que $b_2$ es un múltiplo de ambos $2$ y $5^2$ digamos $b_2=2 \cdot5 ^2 \cdot b_3$ . Luego $$n=2^5 \cdot5 ^6 \cdot a_2^5 \qquad\text { and } \qquad n=2^5 \cdot5 ^6 \cdot b_3^2.$$ Esto muestra que $n \geq2 ^5 \cdot5 ^6$ y como es de esperar, una rápida comprobación muestra que $n=2^5 \cdot5 ^6$ funciona de verdad, así que $n=2^5 \cdot5 ^6=500000$ .

Answer 3

Esto es como el código de golf...

La respuesta es 500000.

Prueba por cálculo: (en R)

> x=(1:10)^5*5
> x
 [1]      5    160   1215   5120  15625  38880  84035 163840
 [9] 295245 500000
> sqrt(x/2)
 [1]   1.581139   8.944272  24.647515  50.596443  88.388348
 [6] 139.427400 204.981707 286.216701 384.216736 500.000000

Hecho.

Answer 4

Escribo esta respuesta porque dijiste que estabas intentando un método de adivinar y comprobar. Los ordenadores son buenos en esto. Un algoritmo decente es tener dos números enteros $n_x$ y $n_y$ que empiezan en 1. Entonces, calcula x haciendo $2n_x^2$ y y haciendo $5n_y^5$ . Comprueba si son iguales; si lo son, has encontrado tu respuesta. Si no, cualquiera de $x$ y $y$ son más bajos, incrementan que $n$ (es decir, si $x < y$ y luego incrementar $n_x$ ). Recalcular $x$ y $y$ y repetir hasta que sean iguales.

He aquí un ejemplo de implementación en Python utilizando generadores:

class SpecialSquareGenerator:

    def __init__(self, n=0):
        self.n = n

    def __iter__(self):
        return self

    def __next__(self):
        self.n += 1
        return self.n, 2*(self.n**2)

class SpecialFifthGenerator:

    def __init__(self, n=0):
        self.n = n

    def __iter__(self):
        return self

    def __next__(self):
        self.n += 1
        return self.n, 5*(self.n**5)

def special_square():
    n = 0;
    ss = SpecialSquareGenerator()
    sf = SpecialFifthGenerator()
    nx, x = next(ss)
    ny, y = next(sf)
    print("{0}: {1}\t{2}: {3}".format(nx, x, ny, y))
    while True:
        if (x == y): return x
        if x < y:
            nx, x = next(ss)
        else:
            ny, y = next(sf)
        print("{0}: {1}\t{2}: {3}".format(nx, x, ny, y))

if __name__ == "__main__":
    print(special_square())

Ejecutarlo devuelve la respuesta correcta:

gns-mac1:sandbox gns$ python3 special_square.py 
1: 2    1: 5
2: 8    1: 5
2: 8    2: 160
3: 18   2: 160
...(output omitted)
494: 488072 10: 500000
495: 490050 10: 500000
496: 492032 10: 500000
497: 494018 10: 500000
498: 496008 10: 500000
499: 498002 10: 500000
500: 500000 10: 500000
500000

Por supuesto, el enfoque matemático es mejor para entender el problema. Pero si necesitas adivinar y comprobar, entonces los ordenadores son la herramienta para ello.

P.D.

Hay otra manera de buscar exhaustivamente la solución. Puedes tomar números secuenciales y tratar de dividirlos por 2 (o 5) y luego tomar la raíz cuadrada (o quinta raíz) y luego comprobar si el resultado es un número entero para ambas operaciones. Este enfoque tiene dos desventajas:

• Tienes que decidir si un número en coma flotante se supone que representa un número entero. Esto es difícil de hacer para las computadoras y las implementaciones de lenguaje porque las computadoras sólo tienen un conjunto fijo de dígitos para representar los números de punto flotante.
• El espacio de búsqueda es mayor (por orden de $n^2$ ). Así que eso significa que debería esperar más tiempo para llegar a la misma respuesta, dado el mismo hardware.

P.S.S.

Hay formas más rápidas de implementar tanto mi algoritmo, como el otro que mencioné en la posdata. Por ejemplo, puedes duplicar $n$ cada vez y luego cuando te pases, usa la búsqueda binaria en el espacio entre la última $n$ y el que se pasó de la raya.

Answer 5

Pista: Que el número requerido sea x:

$ \frac {1}{2}x= A^2$

$ \frac {1}{5}x= B^5$

$ \frac {1}{2}x+ \frac {1}{5}x =A^2+B^5$

$ \frac {5x+2x}{10}=A^2+B^5$

$7x=10(A^2+B^5)$

⇒ $x=10k$ ; $k ∈ N $ .

Así que x es una potencia de 10.

La quinta potencia más pequeña de 10 es $10^5$ así que el número debe ser $5 \times 10^5=500000$ .