Cálculo de coeficiente en serie de Fourier en dos minutos, sí, ¿cómo?!

Question

Ejemplo de una Pregunta para preparar el examen de ingreso: serie de Fourier de la función:

$$ f(x)=f(x+2\pi), f(x) =\left\{ \begin{array}{rcr} 1 & & -\pi <x<0 \\ \sin x & & 0<x<\pi \\ \end{array} \right. $$

ser como:

$$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\Sigma_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx+b_n \sin nx) $$

(Pregunta) por lo que el coeficiente es:

$$a_n=0,n=2k+1,b_n=0,n=2k$$

Mi reto es a través del coeficiente de, (i.e: calcular el coeficiente de debajo de los dos minutos que considerar para cada pregunta? Hay alguna forma de calcular este poco?

La opción $1) a_n=0,n=2k+1,b_n=0,n=2k+1$

La opción $2) a_n=0,n=2k,b_n=0,n=2k+1$

La opción $3) a_n=0,n=2k,b_n=0,n=2k$

La opción $4) a_n=0,n=2k+1,b_n=0,n=2k $ (solución)

Muy buen corto solución es conseguir por mis amigos, no es comprensible para mí, nadie podría describirlo?

Answer 1

La solución no es dura:

Yo creo que:

PS

PS

Answer 2

Que no estamos pidiendo todos los coeficientes, sólo que son cero.

Tu amigo parece ser lo que los argumentos a la linealidad. En los dos primeros (los de arriba) los gráficos, se separan en el "1" y el "pecado" de la parte, cada 0 en la mitad del periodo. Luego, escribe la primera parte como una suma de nuevo: una constante 1/2, y una alternancia de signo 1/2. (Los primeros dos gráficos en la fila inferior). De igual manera, con el pecado, él recibe un $\frac{1}{2}\sin(x)$ $\frac{1}{2}|\sin(x)|$ plazo. La función original es la suma de estos cuatro términos, por lo que la transformada de Fourier es la suma de las transformadas de Fourier de estos cuatro términos.

La transformada de Fourier de la primer término es trivial: $a_0=1$. La transformada de Fourier de la tercer término es también trivial: $b_1 = 1$. Esta realidad es ya suficiente para determinar completamente la respuesta! (Nota: esto es suponiendo que el segundo y el cuarto mandato de no cancelar por completo de aquellos. La comparación de las magnitudes rápidamente puedo convencerme de esto.)

Para ser un poco más riguroso, su amigo considera que la paridad de los coeficientes de los términos así. El segundo término tiene todos los impares de la parte izquierda, y el cuarto término tiene toda la parte izquierda, por lo que la segunda nos da $b_n$ términos y el cuarto da $a_n$ términos. En el segundo término, es completamente extraño alrededor de $x=\pi$, por lo que todos los términos debe ser impar frecuencias ($n=2k+1$). De manera similar en el cuarto, de la función completa es aún alrededor de $x=\pi$, por lo que todo debe ser aún frecuencias, así como para mantener la simetría ($n=2k$).