punto p en $\beta\mathbb{N}$

Question

es mi definición del punto p en $\beta\mathbb{N}$: $\mathcal{U}$ es un punto p si y sólo si cada ${A_n:n\in\mathbb{N}}\subset\mathcal{U}$ tiene una pseudo-intersección, es decir, un $B\in\mathcal{U}$ tal que $B\backslash A_n$ es finito para cada $n$.

En topología de la definición es: la intersección de una familia contable de barrio de $\mathcal{U}$ es un barrio de $\mathcal{U}$.

¿Cómo puedo probar que estas dos definiciones son equivalentes?

Answer 1

Probablemente alguien va a venir para arriba con una solución más simple, pero voy a darle una oportunidad.

Voy a trabajar en $\beta\omega^*$ (la pregunta fue, probablemente, se pretendía que fuera de esta manera). I. e., sólo trabajamos con los no-principal ultrafilters y la topología es la dada por la base que consta de conjuntos de $U_A=\{\mathcal F; A\in \mathcal F\}$$A\subseteq\omega$.

La clave de la propiedad, que uso muy a menudo es $$\mathcal F\in U_A \Leftrightarrow A\in\mathcal F.$$

$\boxed{\Rightarrow}$ Supongamos que cada sistema de conjuntos de $\mathcal U$ tiene un pseudointersection. Dado que cualquier sistema de los barrios y ghettos $U_{A_n}$$\mathcal U$, existe un pseudointersetction $B\in\mathcal U$. Sólo tenemos que mostrar $U_B\subseteq U_{A_n}$ todos los $n$. Pero si $B\in \mathcal F$ para algunos de los principales ultrafilter $\mathcal F$ $B\setminus A_n=F$ es finito, entonces $F'=\omega\setminus F\in\mathcal F$$B\cap F'=B\setminus F\in\mathcal F$$B\setminus F\subseteq A_n$. Por lo tanto, $A_n\in\mathcal F$.

$\boxed{\Leftarrow}$ Supongamos que tenemos una secuencia de conjuntos de $A_n\in\mathcal U$. Si la intersección $\bigcap A_n$ es abierto, esto significa que no existe $B\in\mathcal U$$U_B \subseteq \bigcap U_{A_n}$. La última inclusión es equivalente a la condición de que $$(\forall \mathcal F\in\beta\omega^*) [B\in\mathcal F \Rightarrow (\forall n) A_n\in\mathcal F].$$ Queremos mostrar que $B$ es pseudointersection. Supongamos que no, es decir, existe cierta $n_0$ tal que $B\setminus A_{n_0}$ no es finito. Entonces existe un no-director de ultrafilter $\mathcal F_0$ tal que $B\setminus A_{n_0}\in \mathcal F_0$. (Utilice el hecho de que el sistema de $\{B\setminus A_{n_0}\}\cup\{\omega\setminus F; F \text{ is finite}\}$ ha finito intersección de la propiedad.) Ahora, este ultrafilter contiene $B$, pero no contiene $A_{n_0}$, que contradice la anterior propiedad.