Sea $F$ un campo y $SL_n(F)$ el grupo de matrices de $n \times n$ con determinante $1$. Sea $\Gamma \subset SL_n(F)$ un subgrupo. Podemos considerar $\Gamma$ como un subconjunto de $M_n(F) \cong F^{n^2}$ para definir su cierre $F$-Zariski. ¿Cómo puedo demostrar que también es un subgrupo de $SL_n(F)?$
Respuesta
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Tenga en cuenta que $SL_n(F)$ es un grupo topológico en la topología de Zariski. Voy a llamar al subgrupo $G$ porque estoy escribiendo en un teléfono celular, y a la clausura como $H$. Si $g,h\in H$, sea $U$ un vecindario de $gh$. Dado que la multiplicación es continua, existen vecindarios $A$ de $g$ y $B$ de $h$ tales que $AB\subseteq U$. Dado que tanto $A$ como $B$ contienen elementos de $G$, entonces también lo hace $U$. Por lo tanto, $gh\in H. Tenga en cuenta también que dado que la inversión es un homeomorfismo, si $U$ es un vecindario de $g$, entonces $U^{-1}$ es un vecindario de $g^{-1}$, y dado que el primer vecindario contiene un elemento de $G$, así lo hace el segundo. Por lo tanto, $g^{-1}\in H$, entonces $H$ es un subgrupo de $SL_n(F)$.
