Me interesa saber si hay más técnicas para hacer que una serie diverja "más rápido" para demostrar que diverge. A continuación están los trucos/teoremas específicos que conozco para hacerlo.
Recordé haber leído que la suma de los primos inversos $1/2 + 1/3 + 1/5 + \ldots$ tiene su $n$ La suma parcial crece como $\log \log n$ Lo que me hizo pensar que sería potencialmente más fácil mostrar la divergencia tomando la exponencial de la suma para hacerla divergir más rápido, y esto efectivamente se puede hacer funcionar para obtener una prueba muy corta:
$$e^{\sum_{n=1}^\infty 2/p_n} > \prod_{n=1}^\infty (1 + 2/p_n) > \prod_{n=1}^\infty \sum_{k=0}^\infty 1/p_n^k = \sum_{n=1}^\infty 1/n = \infty$$
Del mismo modo, tomando la exponencial de la serie armónica y utilizando $e^x > 1 + x$ da un producto infinito telescópico cuyo $n$ El producto parcial es $n+1$ que son claramente divergentes.
También recuerdo un resultado de que una serie de términos positivos decrecientes $\sum_n a_n$ diverge si la serie $\sum_k 2^k a_{2^k}$ diverge, y esta transformación también puede hacer que una serie diverja "más rápido", por ejemplo, hace que la serie armónica se vea como $1 + 1 + 1 + \ldots$ para que la serie armónica sea claramente divergente, y hace $\sum_{n=2}^\infty 1/n \log n$ se parece a la serie armónica por lo tanto divergente.
O bien, una serie divergente conocida podría utilizarse para construir una serie divergente de crecimiento más lento que podemos mostrar que crece igual o más lentamente que una serie dada que deseamos mostrar divergente. Recuerdo un resultado de este tipo que dice que si una serie de términos positivos $\sum_n a_n$ diverge, entonces $\sum_n a_n/s_n$ también diverge cuando $s_n = \sum_{i=1}^n a_i$ . Poniendo todo $a_n =1$ muestra que la serie armónica diverge, y poniendo $a_n = 1/n$ muestra que $\sum_{n=2}^\infty 1/n \log n$ diverge suponiendo que sabemos que las sumas parciales de las series armónicas crecen asintóticamente como $\log n$ .
De todos modos, me preguntaba si hay otros teoremas o trucos por ahí que demuestren que una serie diverge haciendo algo para que la serie diverja "más rápido" si la serie diverge (pero obviamente también deja una serie convergente todavía convergente). O algunas formas alternativas de tomar una serie divergente y construir una serie divergente de crecimiento más lento. Por ejemplo, en un comentario alguien señaló los métodos de "Aceleración de Series" diseñados para hacer que una serie convergente converja más rápido; si alguien puede mostrar un ejemplo de cómo estas técnicas también se pueden utilizar para hacer que una serie divergente de ejemplo diverja más rápido para mostrar la divergencia, eso sería genial.
