¿Qué es tan "chillona" sobre este mapa de chillidos?

Question

En la página 88 de Atiyah-Macdonald "Introducción al Álgebra Conmutativa" no es un ejercicio sobre el grupo de Grothendieck $K(A)$ de un noetherian anillo de $A$. En este contexto, cada finito anillo homomorphism $f: A \rightarrow B$ de noetherian anillos hay un grupo asociado homomorphism

$$f_{!}: K(B) \rightarrow K(A)$$

que es inducida por la restricción de un finitely generadas $B$-módulo a través de $f$ a un finitely generadas $A$-módulo. Dadas dos finito anillo homomorphisms $A \stackrel{f}\longrightarrow B \stackrel{g} \longrightarrow C$ tenemos

$$(g \circ f)_{!} = f_{!} \circ g_{!}$$

Lo que me pregunto es: ¿por qué ponen el "grito" (es decir, el símbolo "$!$") en el subíndice cuando se comporta contravariantly?

En wikipedia dicen que los gritos se utilizan para distinguir un functor de otro similar functor, o con el fin de advertir al lector de que algo que intuitivamente se comporta covariantly (contravariantly) se comporta en lugar contravariantly (covariantly).

Así que lo de los dos, en todo caso, se aplica en mi caso? Es bastante claro para mí que en mi caso el grito "echas de vuelta de todo", porque nos succesively restringir escalares, primero a lo largo de $g$, a continuación, a lo largo de $f$. Un lugar, a priori, se espera que el grupo de Grothendieck functor es covariante, o hay otra, bien conocido functor, que podría ser fácilmente confundido con esto?

Answer 1

Cuando usted tiene un mapa de los anillos de $A\to B$ obtiene un inducida por el functor $M(A)\to M(B)$ en las categorías de finitely módulos generados sobre$A$$B$, respectivamente. Es dado por $P\mapsto P\otimes_A B $. Esto induce a un homomorphism en $K$-teoría (o $G$-teoría, si somos precisos) que se comporta covariantly. Este functor es considerado a ser el normal. El functor que usted describe es, de hecho, al revés.

Edit: La razón por la que el functor covariante es el "normal" de la omi Cisne del Teorema. Hay una equivalencia de categorías de la categoría de verdadero vector de paquetes a través de una topológicos compactos espacio de $X$ y proyectivas de los módulos a través del anillo de funciones continuas $C(X,\mathbb R)$. Más específicamente un vector paquete de $E\to X$ se envía al módulo de secciones $\Gamma (X,E)$ (Ejercicio: de hecho esta es proyectiva). Por lo tanto, tenemos un isomorfismo de la topológico $K$-grupo de $X$ y el algebraico $K$-grupo de $C(X,\mathbb R)$. Un mapa de espacios topológicos $X\to Y$ induce un mapa de $K(Y)\to K(X)$ (contravariantly). A su vez queremos que la inducida por el mapa de $C(Y,\mathbb R)\to C(X,\mathbb R)$ a inducir un mapa de $K(C(Y,\mathbb R))\to K(C(X,\mathbb R))$. Esto es hecho por el functor covariante y como se describe anteriormente.

Hay muchas relaciones entre topológico y algebraicas $K$-teoría. En general topológica de la K-teoría es fácil, ya que tenemos más herramientas a la mano. En consecuencia, muchos de los resultados existentes en la topológico reino hasta que podemos transferir a la algebaric mundo. Ya que todo debería funcionar esencialmente similar es bueno tener los mapas en la misma dirección.

Answer 2

En general, $f_!$ es la notación, en cohomological o ciclo de la teoría de los contextos, para pushforward con los soportes adecuados (la relativa versión de cohomology con compact es compatible).

En este caso en particular, uno es de aplicación para la correcta morfismos Espec $B \to $ Espec $A$ (adecuada debido a que la extensión de los anillos $A \to B$ es finito).

Así que la respuesta a tu pregunta es que hay una mayor geométricas contexto en el que esta particular situación considerada por la mañana puede ser colocado, y en ese contexto mayor $f_!$ es la notación tradicional.