Un isomorfismo entre los campos$\mathbb{Q}(e)$ y$\mathbb{Q}(\pi)$

Question

Cómo puedo probar que $\mathbb{Q}(e)\cong \mathbb{Q}(\pi)$?

También, es este isomorfismo una válida?

Tenemos que $\mathbb{Q}(e)=\left \{ \cfrac{f(e)}{g(e)} \mid f(x),g(x)\in\mathbb{Q}[x], g(e)\neq0 \right \} $$\mathbb{Q}(\pi)=\left \{ \cfrac{f(\pi)}{g(\pi)} \mid f(x),g(x)\in\mathbb{Q}[x], g(\pi)\neq0 \right \} $.

Entonces considero que el homomorphism $\phi:\mathbb{Q}(e)\to\mathbb{Q}(\pi)$ donde $\cfrac{f(e)}{g(e)}\mapsto \cfrac{f(\pi)}{g(\pi)}$.

La parte superior homomorphism es, obviamente, surjective por la definición de los campos.

Por otra parte, $\ker\phi=\left \{ 0 \right \}$, porque si $\cfrac{f(e)}{g(e)}\in\ker\phi$ tenemos que $\cfrac{f(\pi)}{g(\pi)}=0\Rightarrow f(\pi)=0$. Así que si $f(x)$ es un no-cero del polinomio tenemos que $\pi$ no es trascendental $\mathbb{Q}$, lo cual es una contradicción y, por lo $f(x)=0\Rightarrow \cfrac{f(\pi)}{g(\pi)}=0$

Si $\phi$ es un isomorfismo, hay otra prueba, más general y abstracto?

Answer 1

De la definición se desprende fácilmente que un número$\alpha \in \mathbb C$ es un número trascendental si, en el caso de$\mathbb{Q}(\alpha) \cong \mathbb{Q}(X)$, el campo de las funciones racionales sobre$\mathbb{Q}$. Por lo tanto, $\mathbb{Q}(e) \cong \mathbb{Q}(X)\cong \mathbb{Q}(\pi) $.