Demostrar

Question

Demostrar: $$ \frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot 2007} {2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2008}

he intentado escribir $1/40$ $(1/40^{1/2007})^{2007}$ y $(1/40^{1/2007})^{2007}$ mayor que $2007/2008$ de probar pero descubrí rápidamente que esto no es cierto. ¿Hay otra forma de manipular este producto? Creo que el telescoparse es posible pero no sé cómo hacerlo; tal vez dividir las fracciones y trabajarlo hacia fuera? Cualquier ayuda sera apreciada gracias.

Answer 1

Deje que

$ A = \frac {1\cdot \cdot 3 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot 2007} {2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2008} $$

$$ B = \frac {2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2008} {1\cdot \cdot 3 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot 2009} $$ entonces $$A****

Entonces $$A^2<ab de="" despu="">### Generalmente:

$$ {1\over 2} \cdot {3\over 4} \cdot {5 \over 6} \cdot \ldots \cdot {2n-1 \over 2n}

</ab>

Answer 2

PS

Answer 3

Usar la aproximación de Stirling. $$\frac{1\cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot 2007}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2008}=\frac {2008!}{(1004!)^22^{2008}}$ $ Ahora si aplicas Stirling todo cancela excepto $$\frac {\sqrt {2\pi\cdot 2008}}{2\pi\cdot 1004}\approx 0.017\lt \frac 1{40}$ $ I dejar comprobar los límites de error, pero Stirling es muy estrecha en esta gama y tenemos un buen poco de margen.

Answer 4

$$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}=\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}=\frac{2}{\pi}\int{0}^{\pi/2}\cos^{2n}(x)\,dx\stackrel{(*)}{\leq}\frac{2}{\pi}\int{0}^{\pi/2}e^{-nx^2}\,dx\leq\frac{1}{\sqrt{\pi n}} $ $ evaluado inmediatamente en $n=1004$ da que la LHS es $\leq \color{red}{\frac{1}{56}}$.

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Prueba de $(*)$: para cualquier $z\in(0,\pi/2)$ tenemos $\tan z\geq z$. Para cualquier $x\in(0,\pi/2)$, mediante la integración de ambos lados en el intervalo de $(0,x)$ obtenemos el $-\log\cos x\geq \frac{x^2}{2}$ y $\cos(x)\leq e^{-x^2/2}$ por exponentiating ambos lados.