Pregunta de inducción

Question

Tengo que probar ese $$P(n):\quad 1^2-2^2+3^2-\dots+(-1)^{n+1}n^2=(-1)^{n+1}T_n$$ where $T_n=1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)} {2} $.

Sé que tengo que resolver por inducción.

Por lo tanto, mostró un caso base que cuando $n=1$, entonces $P(1)$ es true.

Y luego hice
$$P(n+1):\quad (-1)^{n+2}(n+1)^2+(-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2}$$

pero entonces creo que estoy arruinando mi parte aritmética, porque yo no puedo llegar a igual $P(n+1)$.

Answer 1

Estás en el camino correcto.

$$\begin{align} (-1)^{n+2}(n+1)^2+(-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}2&=(-1)^{n+2}(n+1)^2-(-1)^{n+2}\frac{n(n+1)}2\ &=(-1)^{n+2}\left((n+1)^2-\frac{n(n+1)}2\right)\ &=(-1)^{n+1}\cdot\frac{2(n+1)^2-n(n+1)}2\;; \end{align} $$

¿Usted puede simplificar el numerador para terminar de aquí?

Answer 2

Factor $(-1)^{n+2}(n+1)$. El cociente es $$(n+1)-\frac n2=\frac{n+2}2$ $ desde $(-1)^{n+2}$ y $(-1)^{n+1}$ tienen signos opuestos.