Mi clase está resolviendo el Cauchy-Euler ecuación diferencial $a t^2 y'' + b t y' + c y = 0$ . Las soluciones son potencias de $t$ , $y = t^r$ y luego se resuelve para $r$ utilizando la ecuación característica $a r^2 + (b-a) r + c = 0$ . Esto tiene dos raíces $r = \overline{r} \pm \Delta r$ y la solución general es $y = A t^{\overline{r} + \Delta r} + B t^{\overline{r} - \Delta r }$ .
¿Qué sucede si obtenemos raíces dobles, es decir $(b-a)^2 = 4ac$ o $\Delta r = 0$ ? Suponemos que una solución de $y = t^r \ln t$ . Podemos derivar esta conjetura tomando el límite de la solución de dos raíces distintas como $\Delta r$ tiende a 0? En algún sentido $$ A t^{\overline{r} + \Delta r} + B t^{\overline{r} - \Delta r } = t^{\overline{r}} ( A t^{ \Delta r} + B t^{ - \Delta r }) \to t^{\overline{r}} (C + D \ln t )$$ para algunas constantes $A,B,C,D$ .
En cierto modo, es plausible que el límite funcione así debido a la fórmula integral: $$ \int t^{r - 1}\mathrm dt = \begin{cases} \frac{t^r}{r} & r \neq 0\\ \ln t & r = 0 \end{cases}$$ Y espero que esto entre en juego en la ecuación de Euler-Cauchy. Sin embargo, ¿cómo hacerla rigurosa?
