Munkres sección 10: Cómo son este tipo de orden diferente?

Question

Deje $\mathbb{Z}^+$ denota el conjunto de todos los enteros positivos en el orden habitual, vamos a $n$ ser un entero positivo, y dejar que los siguientes conjuntos tienen la orden de diccionario: $\{1, \ldots, n \} \times \mathbb{Z}^+$, $\mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+$, y $\mathbb{Z}^+ \times \left( \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \right)$.

Ahora Munkres afirma que todos estos conjuntos tienen diferentes tipos de órdenes. Mi pregunta es: ¿cómo se demuestra que este es realmente el caso?

Cada uno de estos grupos tiene un menor elemento, y en cada juego, cada elemento tiene un inmediato sucesor. En $\{1, \ldots, n \} \times \mathbb{Z}^+$, sólo un número finito de elementos no han inmediatos predecesores, es decir, los elementos $(1,1), \ldots, (n,1)$, mientras que en $\mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+$, hay un subconjunto infinito de elementos sin inmediatos predecesores, viz., el conjunto $\{ (1,1), (2,1), (3,1), \ldots \}$, y la situación es similar para el conjunto de $\mathbb{Z}^+ \times \left(\mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \right)$.

Es esta diferencia suficiente para distinguir los tipos de la orden de $\{1, \ldots, n\} \times \mathbb{Z}^+$ de la de cualquiera de las $\mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+$ o $\mathbb{Z}^+ \times \left( \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \right)$

Y ¿cómo sabemos que los tipos de la orden de $\mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+$ $\mathbb{Z}^+ \times \left( \mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Z}^+ \right)$ son diferentes?

Answer 1

Sí: es suficiente para distinguir el tipo de orden de $\{1,\ldots,n\}\times\Bbb Z^+$ desde ambos de los otros dos. Distinguir los tipos de la orden de $\Bbb Z^+\times\Bbb Z^+$ $\Bbb Z^+\times(\Bbb Z^+\times\Bbb Z^+)$ por medios elementales es sólo un poco poco más difícil, pero se puede usar una idea similar. En cada uno de ellos mira el subconjunto formado de elementos sin un predecesor inmediato. En $\Bbb Z^+\times\Bbb Z^+$ cada uno de los miembros de dicho conjunto tiene sólo un número finito de predecesores en ese conjunto. Es cierto, en $\Bbb Z^+\times(\Bbb Z^+\times\Bbb Z^+)$?

Puede ser útil para visualizar estos tres tipos de orden. Si yo uso el símbolo $\longrightarrow$ soporte para el tipo de orden de $\Bbb Z^+$, $\{1,\ldots,n\}\times\Bbb Z^+$ tiene el tipo de orden

$$\underbrace{\longrightarrow\longrightarrow\ldots\longrightarrow}_{n\text{ arrows}}\;,$$

y los elementos sin inmediatos predecesores están en las colas de las $n$ flechas.

$\Bbb Z^+\times\Bbb Z^+$ tiene el tipo de orden

$$\underbrace{\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow\ldots}_{\text{a whole arrow of arrows}}\;,$$

y de nuevo los elementos sin inmediatos predecesores están en las colas de las $n$ flechas. Si me abreviar esa imagen a $\Longrightarrow$, yo puedo representar el tipo de $\Bbb Z^+\times(\Bbb Z^+\times\Bbb Z^+)$

$$\underbrace{\Longrightarrow\Longrightarrow\Longrightarrow\Longrightarrow\ldots}_{\text{a whole arrow of arrows}}\;,$$

en el que cada una de las $\Longrightarrow$ contiene una infinidad de elementos sin inmediatos predecesores.

De hecho, el conjunto de elementos sin predecesor inmediato en $\{1,\ldots,n\}\times\Bbb Z^+$ es ordenado como $\{1,\ldots,n\}$; que en $\Bbb Z^+\times\Bbb Z^+$ es ordenado como $\Bbb Z^+$; y que en $\Bbb Z^+\times(\Bbb Z^+\times\Bbb Z^+)$ es ordenado como $\Bbb Z^+\times\Bbb Z^+$.

Answer 2

Cada conjunto ordenado que dijo está bien ordenado, y usted puede comprobar que el primero es isomorfo a algún segmento inicial de la segunda. Sin embargo, cada segmento inicial de un conjunto bien ordenado es no isomorfo al conjunto original para la primera y la segunda no son isomorfos. Del mismo modo, usted puede probar que $\Bbb{Z}^+\times \Bbb{Z}^+$ no es isomorfo a $\Bbb{Z}^+\times (\Bbb{Z}^+\times \Bbb{Z}^+)$.

Answer 3

Supongo que $a$ es el predecesor de $b$ y $\phi$ es un isomorfismo de orden-preservar de conjuntos. Queremos mostrar $\phi(a)$ es el predecesor de $\phi(b)$. De lo contrario, asumir que hay algún otro elemento $x$ tal que $\phi(a)