Hace poco vi un video acerca de las diferentes infinitos. Que no es$\aleph_0$,$\omega, \omega+1, \ldots 2\omega, \ldots, \omega^2, \ldots, \omega^\omega, \varepsilon_0, \aleph_1, \omega_1, \ldots, \omega_\omega$, etc..
No puedo encontrar a mí mismo en todo esto. Por qué hay tantos infinitos, y ¿por qué molestarse para clasificar el infinito, cuando el infinito... infinito? ¿Por qué usamos todos estos símbolos? Lo que hace cada tipo de infinito significa?
Como una idea, pensar en el tamaño de los habituales juegos de números.
Pensar en el conjunto de todos los enteros positivos, y el conjunto de todos los positivos múltiplos de 5. Es un poco extraño para los "no iniciados", pero en última instancia no es difícil de envolver su cabeza en torno al hecho de que hay la misma cantidad de cada uno, porque la lista al lado de la otra sin ningún problema:
$$\begin{align*}1 &\to 5\\2&\to10\\3&\to15\\&\dots \end{align*}$$
Cada uno es un conjunto infinito, y mientras que usted puede estar tentado a pensar que hay cinco veces más números en el conjunto de los enteros positivos que el conjunto de los múltiplos de 5, sólo me mostró por encima de la que puede hacer que un 1-a-1 correspondencia entre ellos, por lo que en realidad son del mismo tamaño. Estoy haciendo esta notación, pero podemos llamar a esto $\infty_1$.
Ahora pensemos en el conjunto de todos los números entre el$0$$1$. No hay ninguna manera posible, no importa cómo lo intente, para conseguir un 1-a-1 correspondencia con el conjunto de enteros positivos tal y como hicimos anteriormente. Podemos probar:
$$\begin{align*}1 &\to 0\\2&\to0.1\\3&\to0.01\\&\dots \end{align*}$$
Pero, ¿qué acerca de todos los números entre el $0$ $0.1$ que nos falta? De esta áspera de la intuición de que hay más números en el segundo set, esta vez de en el primero. Podemos llamar a esto $\infty_2$.
Ya se han descrito dos "diferentes infinitos", con sólo mirar un par de conjuntos de números. $\infty_1$ es contable, como vimos en la primera enumeración, sino $\infty_2$ es no.
Para desarrollar todo el concepto de aleph números y transfinito conjuntos y etc requiere algo de matemáticas puras que está más allá de mi nivel de remuneración. Pero tal vez usted puede ver cómo los infinitos pueden ser clasificados como diferentes.
En el mundo matemático, $\infty_1=\aleph_0$$\infty_2=2^{\aleph_0}$, por lo verás escrito de esa manera. Como @Milo Brandt señaló, para aquellos que están más interesados en el rigor de la transfinito conjuntos, etc, tenga en cuenta que $2^{\aleph_0}$ no es necesariamente $\aleph_1$.
Una cuestión que aún no se han abordado es la razón por la que tenemos tanto $\aleph$s y $\omega$s. Estos existen porque Cantor introdujo dos conceptos distintos acerca de los conjuntos infinitos - sus tamaños ($\aleph$) y su orden-tipos ($\omega$). Todos los demás explicó tamaños, así que no voy a hablar sobre eso.
Por orden de este tipo, se comienza por considerar el siguiente conjunto:
{ 1/2, 2/3, 3/4, ..., N/N+1, ... }
Este es, por supuesto, un conjunto infinito de tamaño $\aleph_0$. Pero los elementos también se pueden solicitar por <, y este también es un conjunto de una determinada sucesión infinita de tipo, que Cantor eligió el nombre de $\omega$. Consideremos ahora una variante de este conjunto:
{ 1/2, 2/3, 3/4, ..., N/N+1, ..., 1 }
Esto también es de tamaño $\aleph_0$ (he de dejar constancia de que a usted). Pero es un orden diferente tipo, debido a su ordenamiento interno es estructuralmente diferente - yo.e NO es posible biject los dos conjuntos de la preservación del orden. Esto puede observarse teniendo en cuenta que el elemento 1 en el segundo set ha infinitamente muchos predecesores, que ningún elemento del primer conjunto tiene. Cantor de los nombres de este conjunto de pedidos de tipo $\omega+1$. Si he añadido 2 en el segundo set, el resutling orden-tipo, a continuación, ser $\omega+2$; y así sucesivamente. En realidad, eso no es justicia - hay una infinidad de ', y así viene - agravado "al infinito y más allá".
Entonces, ¿qué Cantor descubierto es un muy sofisticado notación para describir altamente complicados conjuntos de números reales (o como él pensaba de ella, los puntos en la recta numérica), una notación que se dio cuenta de que podría ser extraída en un sistema de realidad infinita de números de tener sus propias reglas de la aritmética (inferido desde el punto de conjuntos resultantes de catenating otro punto de conjuntos).
No voy a comentar sobre su más preguntas filosóficas, pero voy a dar lo que yo creo que es una de las aplicaciones más importantes de los diferentes tamaños de infinito.
Hay una matemática rigurosa forma de pensar acerca de un programa de computadora, llamada máquina de Turing. Uno puede mostrar que la cardinalidad del conjunto de máquinas de Turing es $\aleph_0$, sin embargo el conjunto de todos los posibles problemas que usted puede ser que desee un programa de computadora para resolver es estrictamente más grande (la cardinalidad de a $\mathbb{R}$). La muy real de la aplicación en este caso es la conclusión de que hay algunos problemas que no pueden resolver por cualquier programa de ordenador.
Un uso natural para pequeñas infinito de los números ordinales, que pone de manifiesto que diferentes infinito ordinales tienen propiedades distintas, es la longitud de juegos.
Estoy jugando un ajedrez-como (toma de turnos, determinista, información completa) juego de mesa de algún tipo en contra de un oponente. Mi compañero también está jugando un juego separado contra mi rival compañero de equipo. Los movimientos son realizados en ambos juegos en el mismo tiempo.
Por desgracia, estoy perdiendo mi juego, y no puede hacer nada para evitar una eventual pérdida. Por suerte, mi compañero de equipo está ganando, y las reglas son tales que el tiempo como puedo retrasar mi pérdida de tiempo suficiente para que mi compañero de equipo a la fuerza de su triunfo, estamos OK.
El endeudamiento de ajedrez de la terminología, mi posición del oponente puede ser descrito como ganar en $n$ inductivamente, diciendo que ellos ganan en $0$ si ya lo han ganado, y ellos ganan en $k+1$ si no importa mi próximo movimiento, se podrá garantizar que terminan en un ganar-en-$k$ posición.
Estoy perdiendo, así que mi oponente tiene de ganar-en-$p$ algunos $p$. Mi compañero tiene de ganar-en-$q$ algunos $q$. Yo estoy bien exactamente si $p > q$ (¿qué sucede si $p = q$ no es importante para lo que sigue).
Hasta el momento, parece que podemos medir la longitud de la ganancia de secuencias utilizando números naturales. Pero luego me encuentran algo interesante: la verdad es que tengo una infinidad de movimientos disponibles para mí, y puedo ver una tendencia que me deja $1$ paso de la derrota, uno que se pierde en $2$, uno que se pierde en $3$, y así sucesivamente. Cada movimiento parece perder en última instancia, cada uno en un número finito de pasos, pero por lo menos puedo elegir cuánto tiempo se tarda para que me pierden. Así que si mi compañero de equipo es en un ganar-en-$k$ posición, solo me falta elegir el movimiento que pierde en $k+1$ se mueve y tengo todo el derecho!
En cierto sentido, entonces, el ganador de la secuencia (secuencia perder) que me estoy enfrentando es "más" que cualquier secuencia finita de mi compañero pueda necesitar, a pesar del hecho de que en todas las circunstancias pierdo en un número finito de movimientos. Para esta situación en particular, podríamos decir que no voy a perder en $\omega$ se mueve, donde $\omega$ es algún tipo especial de número de (spoiler: ordinal) que es más grande que cualquier número natural.
Sin embargo, noto que mi compañero de equipo es en realidad en la misma situación: van a ganar, pero su compañero de equipo será capaz de elegir, en su próximo movimiento, cuánto tiempo tarda. Una vez que hayas tomado esa decisión, su destino está sellado, pero si hacen su elección, al mismo tiempo, como puedo hacer la mía, yo no puedo asegurar que no elegir un más acabado secuencia de mí. Así que tengo que encontrar un movimiento tal que yo pueda poner mi decisión hasta que mi siguiente turno, ver lo que mi compañero de equipo del adversario elige, y sólo tiene que elegir una no perder la secuencia. Si te acuerdas de nuestra definición inductiva de ganar-en-$k$ desde antes, se podría decir que estoy en busca de una situación de perder-en-$(\omega + 1)$ situación, una manera de asegurarse de que estoy en una situación de perder-en-$\omega$ situación siguiente turno.
Una vez que usted se puede imaginar que, quizás pueda imaginar perder en $\omega + 7$ se mueve, o incluso $\omega + \omega$, $\omega + \omega + \omega$, incluso $\omega^2$, y las cosas más exóticas que eso. Usted puede venir para arriba con una comparación natural orden de estos juego de longitudes de que precisamente corresponde a si o no voy a ser capaz de garantizar que mi compañero de equipo gana antes de perder. Si usted hace esto, usted tiene un juego de longitud para cada número natural, entonces usted tiene un juego de la longitud, que es mayor que cualquier número natural, entonces usted tiene muchos más, todavía más grande, juego de longitudes. Podemos considerar cada uno de estos juego largo longitudes como una variedad infinita de números que son cada uno distinto y comparables unos con otros de maneras significativas, y como usted puede haber adivinado que hay una significativa adición (o al menos concatenación) concepto en estas longitudes que satisface algunas (pero no todas) de las propiedades de la adición de números naturales. Estos son (algunos de) los números ordinales.
Todo esto para decir, no hay un infinito que se encuentra en la parte superior de todos los números. Hay muchos objetos que no parecen tener esta propiedad o característica de la "finitud", de hecho, tan rica y diversa de una variedad de no-finito de objetos como son finitos.
La principal motivación para la clasificación de los infinitos (aparte de la intrínseca disfrute de las matemáticas) es que los diferentes infinitos permiso de diferentes propiedades.
Contables infinitos pueden ser razonada sobre el uso inductivo de las pruebas. Por otro lado muchas de las propiedades de análisis hace uso de requiere de innumerables conjuntos.
Tener diferentes infinitos a menudo se hace mostrando que dos conjuntos son no isomorfos por lo que nos permite determinar la cardinalidad de ambos.
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