Límite de $\frac{1}{x}\int_{x}^{2x}e^{-t^2}dt$ cuando $x\to0$

Question

<blockquote> <p>Estoy tratando de encontrar el límite siguiente: $$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}\int_{x}^{2x}e^{-t^2}dt.$ $</p> </blockquote> <p>He intentado resolver mediante la función Gaussiana, pero en la función Gaussiana que los límites usuales de integración son de $-\infty$ $\infty$ y con un cierto % límite superior $a$el resultado de una función Gaussiana terminó implicando la función erf. No sé cómo encontrar este límite o incluso si existe o no mediante el uso de estos.</p>

Answer 1

Sea$g(x)$ una primitiva de$e^{-x^2}$. Entonces

PS

Answer 2

No hay necesidad del teorema De l'Hopital: en un vecindario de cero,$e^{-t^2}=1-t^2+o(t^3)$, por lo tanto:

$$ \frac{1}{x}\int_{x}^{2x}e^{-t^2}\,dt = \frac{1}{x}\left(x-\frac{7}{3}x^3+o(x^4)\right) = 1 +O(x^2) $ $ y el límite de RHS como$x\to 0$ es claramente$\color{red}{1}$.

Answer 3

Usando el teorema integral del valor medio,$$ \frac{1}{x}∫_x^{2x} f = \frac{∫_0^{2x} f - ∫_0^xf}{2x-x} = f(\xi(x))$ $ para algunos$\xi(x) ∈ [x,2x]$. Entonces tenemos$\xi(x) \xrightarrow[x→ 0]{} 0$, entonces por la continuidad de$f$, el resultado sigue.

Answer 4

WLOG, asumimos que$x>0$. Luego \begin{align*} \frac{1}{x}\int_x^{2x} e^{-t^2} dt &= \int_1^2 e^{-(ux)^2} du. \end {align *} Luego \begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\int_x^{2x} e^{-t^2} dt &= \lim_{x\rightarrow 0}\int_1^2 e^{-(ux)^2} du\\ &= \int_1^2 \lim_{x\rightarrow 0} e^{-(ux)^2} du\\ &= 1. \end {align *}

Answer 5

PS

Ahora usa la regla de los hospitales y el teorema fundamental del cálculo.

$$\frac{\int_{x}^{2x}e^{-t^2}dt}{x}=\frac{\int_{0}^{2x}e^{-t^2}dt+\int_{x}^{0}e^{-t^2}dt}{x}=\frac{\int_{0}^{2x}e^{-t^2}dt-\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt}{x}$ $$$\lim_{x\to 0}\frac{\int_{x}^{2x}e^{-t^2}dt}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\int_{0}^{2x}e^{-t^2}dt-\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt}{x}$ $