¿Cómo puedo mostrar que el % de "mapas de dígito binario" $b_i : [0,1) \to \{0,1\}$son i.i.d. variables al azar de Bernoulli?

Question

En este post ¿Cuál es la medida de Lebesgue del conjunto de números en $[0,1]$ que tiene dos tercios de los que en su infinito base-2 la expansión? necesitábamos el hecho de que si dejamos $b_i (x) \in \{0,1\}$ $x \in [0,1)$ el valor del $i$-ésimo dígito en el infinito binario de expansión de $x$, es decir,

$$ x = \sum_{n=1}^\infty b_n (x) \cdot 2^{-n}, $$

donde $b_n (x) = 1$ para todos, pero un número finito de $n$ (a excepción de $x=0$), entonces la $(b_n)_n$ forman una familia de variables aleatorias de Bernoulli independientes, si ellos son considerados como los mapas definidos en el espacio de probabilidad $([0,1), \mathcal{B}, \lambda)$ donde $\mathcal{B}$ son los conjuntos de Borel y $\lambda$ denota la medida de Lebesgue.

Una búsqueda rápida no se presentaron resultados provechosos, así que mi pregunta es para un bien, más o menos elemental, la prueba de este resultado, que también puede ser utilizado como referencia para el futuro.

Yo voy a responder a mi propia pregunta", es decir, proporcionan una posible prueba. Pero yo también estaría interesado en otras pruebas!

Answer 1

Deje $N\in\mathbb{N}$ ser arbitraria. Esto es suficiente para mostrar que $\left(b_{1},\dots,b_{N}\right)$ es una $N$-tupla de Bernoulli independientes de las variables. Para cada una de las $n\in\left\{ 1,\dots,N\right\} $, tenemos $$ \left[0,1\right)=\biguplus_{\ell=1}^{2^{n}}\left[\left(\ell-1\right)\cdot2^{-n},\ell\cdot2^{-n}\right) $$ y la variable aleatoria $b_{n}$ es constante en cada uno de los intervalos $$ \left[\left(\ell-1\right)\cdot2^{-n},\ell\cdot2^{-n}\right)=\biguplus_{j=\left(\ell-1\right)\cdot2^{N-n}}^{\ell\cdot2^{N-n}}\left[\left(j-1\right)\cdot2^{-N},j\cdot2^{-N}\right). $$ Más precisamente, hemos $$ b_{n}\equiv\left(\left(\ell-1\right)\,{\rm mod}\,2\right)\qquad\text{ en }\left[\left(\ell-1\right)\cdot2^{-n},\ell\cdot2^{-n}\right)\qquad\left(\daga\right) $$ y por lo tanto $$ b_{n}\equiv\left(\left(\ell-1\right)\,\mod\,2\right)\qquad\text{ en }\left[\left(j-1\right)\cdot2^{-N},j\cdot2^{-N}\right)\qquad\text{ si }\left(\ell-1\right)\cdot2^{N-n}\leq j\leq\ell\cdot2^{N-n}. $$

Observar la para cada una de las $j\in\left\{ 1,\dots,2^{N}\right\} $, no es algo de $\ell\in\left\{ 1,\dots,2^{n}\right\} $ tal que $\left(\ell-1\right)\cdot2^{N-n}\leq j\leq\ell\cdot2^{N-n}$. Esto implica que el mapa $$ f:\left(b_{i},\dots,b_{N}\right):\left[0,1\right)\a\left\{ 0,1\right\} ^{N} $$ es constante en cada una de las $2^{N}$ intervalos de $\left[\left(j-1\right)\cdot2^{-N},j\cdot2^{-N}\right)$ para $j\in\left\{ 1,\dots,2^{N}\right\} $.

Finalmente hemos de observar que los $f$ es surjective, porque para $k:=\left(k_{1},\dots,k_{N}\right)\in\left\{ 0,1\right\} ^{N}$ arbitraria, podemos establecer $$ x:=\sum_{\ell=1}^{N}k_{\ell}2^{-\ell}+\sum_{\ell=N+1000}^{\infty}2^{-\ell}\in\left[0,1\right). $$ A continuación, el lado derecho de la ecuación anterior directamente los rendimientos de la infinito binario de expansión de $x$ y, por tanto, $b_{n}\left(x\right)=k_{n}$ para todos los $n\in\left\{ 1,\dots,N\right\} $, lo que significa que $f\left(x\right)=k$.

Como la cardinalidad $\left|\left\{ 0,1\right\} ^{N}\right|=2^{N}$ es igual a la cardinalidad $$ 2^{N}=\left|\left\{ 1,\dots,2^{N}\right\} \right|=\left|\left\{ \left[\left(j-1\right)\cdot2^{-N},j\cdot2^{-N}\right)\,\mid\, j\in\left\{ 1,\dots,2^{N}\right\} \right\} \right|, $$ esto implica que para cada una de las $k=\left(k_{1},\dots,k_{N}\right)\in\left\{ 0,1\right\} ^{N}$, no hay una única $j_{k}\in\left\{ 1,\dots,2^{N}\right\} $ tal que $f\equiv k$ $\left[\left(j_{k}-1\right)\cdot2^{-N},j_{k}\cdot2^{-N}\right)$. Pero esto asegura \begin{eqnarray*} \lambda\left(\left\{ x\in\left[0,1\right)\,\mid\, b_{1}\left(x\right)=k_{1},\dots,b_{N}\left(x\right)=k_{N}\right\} \right) & = & \lambda\left(\left[\left(j_{k}-1\right)\cdot2^{-N},j_{k}\cdot2^{-N}\right)\right)\\ & = & 2^{-N}\\ & = & \prod_{j=1}^{N}\lambda\left(\left\{ x\in\left[0,1\right)\,\mid\, b_{j}\left(x\right)=k_{j}\right\} \right), \qquad (1) \end{eqnarray*} donde la última igualdad se debe a $\left(\dagger\right)$, lo que implica $$ \left\{ x\in\left[0,1\right)\,\mid\, b_{j}\left(x\right)=0\right\} =\biguplus_{\ell=0}^{2^{j-1}-1}\left[2\ell\cdot2^{-j},\left(2\ell+1\right)\cdot2^{j}\right) $$ y por lo tanto $$ \lambda\left(\left\{ x\in\left[0,1\right)\,\mid\, b_{j}\left(x\right)=0\right\} \right)=\sum_{\ell=0}^{2^{j-1}-1}\lambda\left(\left[2\ell\cdot2^{-j},\left(2\ell+1\right)\cdot2^{-j}\right)\right)=2^{-j}\cdot2^{j-1}=\frac{1}{2} \qquad (2) $$ así como $$ \lambda\left(\left\{ x\in\left[0,1\right)\,\mid\, b_{j}\left(x\right)=1\right\} \right)=1-\lambda\left(\left\{ x\in\left[0,1\right)\,\mid\, b_{j}\left(x\right)=0\right\} \right)=\frac{1}{2}. \qquad (3) $$ En resumen, las ecuaciones (1)-(3) establecer la reclamación.