En el número total de intentos necesarios para tener$n$ de éxitos

Question

El Problema de Una bolsa contiene $b$ bolas negras y $w$ bolas blancas. Las pelotas son extraídos al azar de la bolsa hasta la última bola blanca se dibuja. Lo que se espera que el número de bolas extraídas?

Mi Solución Parcial Suponga que las bolas están alineados en una línea y dibuja de izquierda a derecha. El número de pelotas a la izquierda de la derecha la bola blanca (decir $N$) rangos de$w-1$$w+b-1$, el número de pelotas a la derecha está dado por $w+b-N-1$. Por lo tanto, podemos calcular la probabilidad de cada valor de $N$ el uso de la distribución hipergeométrica, y hemos

$\text{Expected number}=\displaystyle \sum_{k=w-1}^{b+w-1}\frac{\binom{k}{w-1}\binom{w+b-k-1}{0}}{\binom{w+b-1}{w-1}}\cdot\left(k+1\right)$

que requiere el cálculo de

$$\displaystyle \sum_{k=w-1}^{b+w-1}\binom{k}{w-1} \cdot \left(k+1\right)$$

que soy incapaz de hacer.

Es mi método incluso corregir, y es hay alguna forma fácil de hacer el problema o calcular la suma?

Answer 1

Siempre se sortearán bolas. Para cada bola negra, sea x la probabilidad de que se dibuje. Luego el número que desea, E = w + bx (usando la linealidad de expectativa, haga variables indicadoras para cada bola que son 1 si se dibuja de otra manera 0).

$x = \frac{w}{w+1}$ (probabilidad de que una bola negra dada no se coloque después de todas las bolas blancas).

Asi que $E = w + \frac{bw}{w+1}$

Answer 2

Deja que las bolas negras estar etiquetados de$1$$b$. Imaginen que recoger todas las bolas de una en una. Definir la variable aleatoria $X_i$ $X_i=1$ si la bola negra con la etiqueta $i$ es no recogidos antes de todos los $w$ bolas blancas son recogidos, y por $X_i=0$ lo contrario.

Tenga en cuenta que $P(X=1)=\frac{1}{w+1}$. Para dejar $S_i$ consisten en la $w$ bolas blancas y negras balón $i$. Bola negra $i$ es recogido en algún momento después de que todas las bolas blancas precisamente si es la última bola en conjunto $S_i$. Desde todos los órdenes de $S_i$ son igualmente probables, este proability es $\frac{1}{w+1}$. De ello se desprende que $E(X_i)=\frac{1}{w+1}$.

Deje $X$ el número de bolas negras que evadir el proceso de picking hasta que todos los $w$ bolas blancas son escogidos. Entonces $X=\sum_1^b X_i$, y por lo tanto $$E(X)=\sum_1^b E(X_i)=\frac{b}{1+w}.$$ Tenga en cuenta que el $X_i$ son no independientes, pero eso no importa para la expectativa de cálculo. El número total de ensayos en nuestra situación real es de $w+b-X$, por lo que ha expectativa $w+b-\frac{b}{1+w}$.

Answer 3

El (esencialmente equivalente) de los enfoques dados por André y la Maravilla son más simples, pero es posible acabar con el enfoque mediante la evaluación de la suma:

$$\begin{align*} \sum_{k=w-1}^{b+w-1}\binom{k}{w-1} \cdot \left(k+1\right)&=\sum_{k=0}^b\binom{w-1+k}{w-1}(w+k)\\\\ &=\sum_{k=0}^b\frac{(w+k)!}{(w-1)!k!}\\\\ &=\sum_{k=0}^b\frac{w(w+k)!}{w!k!}\\\\ &=w\sum_{k=0}^b\binom{w+k}w\\\\ &=w\binom{w+b+1}{w+1}\;, \end{align*}$$

donde el último paso, utiliza esta identidad. Sin embargo, usted tiene el mal denominador: debería ser $\binom{w+b}w$, el número total de formas posibles de colocar las bolas blancas en la cadena, ya que no hay ninguna garantía de que el $(w+b)$-ésimo de la bola es de color blanco. Entonces

$$\begin{align*} \text{Expected number}&=\displaystyle \sum_{k=w-1}^{b+w-1}\frac{\binom{k}{w-1}\binom{w+b-k-1}{0}}{\binom{w+b}w}\cdot\left(k+1\right)\\\\ &=\frac{w\binom{w+b+1}{w+1}}{\binom{w+b}w}\\\\ &=\frac{w(w+b+1)}{w+1}\\\\ &=w+\frac{bw}{w+1}\;. \end{align*}$$