Demostrando el axioma del emparejamiento a partir del resto de ZF

Question

En ZF, el axioma de emparejamiento establece que para cada $x, y$ existe el conjunto $\{x, y\}$. Wikipedia también nos dice que este axioma se puede prescindir de él:

Este axioma es parte de Z, pero es redundante en ZF porque se sigue del esquema de axiomas de reemplazo aplicado a cualquier conjunto de dos miembros. La existencia de dicho conjunto está garantizada por el axioma de infinitud, o por el axioma del conjunto potencia aplicado dos veces al conjunto vacío.

Tengo algunas preguntas al respecto:

1. Me parece que solo necesitamos demostrar que dado $x$, existe el conjunto $\{x\}$ y utilizar el axioma de unión para $\{x\}, \{y\}$. ¿Estoy en lo correcto?
2. Para demostrar que $\{x\}$ existe podemos aplicar la separación en $P(x)$ - el conjunto potencia de $x$ cuya existencia está garantizada por el axioma del conjunto potencia. ¿Estoy en lo correcto?
3. Si ambas afirmaciones anteriores fueran correctas, ¿es correcto decir que el axioma de emparejamiento puede demostrarse sin necesidad de asumir la existencia de ningún conjunto (es decir, sin el axioma de infinitud o el axioma del conjunto vacío)?
4. ¿Cómo se puede enunciar el axioma de infinitud sin depender implícitamente del axioma de emparejamiento? Después de todo, la formulación que conozco para este axioma literalmente dice "hay un conjunto inductivo", y para formular lo que significa "conjunto inductivo" hay que usar la expresión $x\cup\{x\}$ que asume que $\{x\}$ es realmente un conjunto existente...

Answer 1

Tienes $x,y$, construyamos el par $\{x,y\}$.

Primero nota que $\varnothing=\{z\in x\mid z\neq z\}$. Así que tenemos el conjunto vacío. Ahora, por el axioma del conjunto potencia tenemos $P(\varnothing)=\{\varnothing\}$ y $P(P(\varnothing))=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$.

Ahora definamos una fórmula (con parámetros $x,y):

$$\varphi(u,v,x,y)\colon= (u=\varnothing\land v=x)\lor(u=\{\varnothing\}\land v=y\})$$

(Nota que $\{\varnothing\}$ puede definirse explícitamente como el conjunto cuyos elementos son todos conjuntos vacíos)

Usando el axioma de reemplazo ahora, fijamos los parámetros $x,y$ y el axioma dice que $\{u\mid\exists v\in P(P(\varnothing))\colon\varphi(v,u,x,y)\}$ existe. Pero este conjunto es exactamente $\{x,y\}$.

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1. No puedes utilizar el axioma de unión para probar a partir de la existencia de $\{x\}$ y $\{y\}$ la existencia del conjunto $\{x,y\}$. El axioma de unión dice que si $A$ es un conjunto entonces $\bigcup A$ es un conjunto. Sin embargo, quieres decir que $\{\{x\},\{y\}\}$ es un conjunto, por lo tanto su unión, que es $\{x,y\}$, es un conjunto. Tú ya asumes la existencia de un par.

2. De hecho, puedes utilizar la separación para probar la existencia de $\{x\}$ utilizando también el axioma del conjunto potencia.

3. Para usar un conjunto potencia, o un argumento de separación ya tienes la existencia de algún conjunto. Nota que el axioma del conjunto potencia dice que si $x$ es un conjunto entonces existe un conjunto que contiene todos los subconjuntos de $x$. La separación es lo mismo, asumes la existencia de un conjunto. Si deseas usar estos dos, agregar una suposición de que un conjunto vacío existe no tiene sentido (nota que los conjuntos vacíos existen debido a la separación, por lo que usarlo para $\{x\}$ es lo mismo que usarlo para $\varnothing$).