¿Por qué cualquier forma cuasi modular corresponde a alguna forma casi holomorfa?

Question

Estoy tratando de entender este artículo.

http://arxiv.org/pdf/math/0603268v1.pdf

En particular, el teorema 1. En particular dice que si

$$ (c z + d)^{-k} f_0(\frac{a z + b} {c z + d}) = \sum_{j = 0}^{p} f_j(z) (\frac{c} {c z + d})^j$$

Entonces $$ (c z + d)^{-k + 2 l} f_l( \frac{a z + b} {c z + d}) = \sum_{j \geq l} \binom{j} {l} f_j(z) (\frac{c} {c z + d})^{j - l}$$

La primera ecuación es un caso especial $l=0$ .

Pregunta : ¿Cómo se demuestra esto?

Comentario: El autor da el enlace a este artículo, pero no he encontrado una prueba. http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/progmath/129/165/fulltext.pdf

Answer 1

Por definición, las formas cuasimodulares son términos constantes de formas modulares casi holomorfas con respecto a. $y={\rm Im}(\tau)$ expansión. Por lo tanto, el mapa $\sum_{i=0}^n f_i(\tau) y^{-i} \rightarrow f_0(\tau)$ es suryectiva. La prueba de la inyectividad se puede encontrar en este documento

http://arxiv.org/pdf/alg-geom/9712009.pdf

(véase la proposición 3.4)