Orientaciones sobre colectores

Question

Esto es una definición muy básica de ejemplo muy básica y orientable 20.5 sin embargo ı no comprendía definición en una buena manera para ı desea explicar mi verde escrito por favor :) y mi ejemplo por favor me ayuden a ı quiere aprender orientación en múltiple si ı podría no underst y en el buen sentido que no va a entender este ı en un resto de buena manera del por favor del tema me ayude

Answer 1

Recordemos que un $n$-formulario asociados a cada punto de $p\in M$ un mapa de $\omega_p:(T_pM)^n\to \mathbb R$. Por tanto, para cualquier base $x_1,\ldots,x_n$$T_pM$, nos hemos asociado un número real $\omega_p(x_1,\ldots,x_n)$, lo cual es positivo o negativo. Si dejamos $x_1,\ldots,x_n$ varían continuamente con $p$ tal que $x_1,\ldots,x_n$ es siempre una base para $T_pM$, $\omega_p(x_1,\ldots,x_n)$ nunca $0$, por lo que debe tener signo constante. Este signo te da una idea de la orientación de la base $x_1,\ldots,x_n$. En el caso de la $1$-colector $\mathbb R$, hay un no-desaparición de $1$forma $dx$, y tenemos dos posibilidades a firmar para las bases de $T_p\mathbb R$: $1$ o $-1$, que corresponde a la izquierda o a la derecha de la orientación. Esto se generaliza a $\mathbb R^n$ en la forma descrita por Sammy.

Answer 2

En primer lugar usted tiene que tener una buena noción de la orientación en un espacio vectorial $V$. Dado que la matriz de transición de una base a otra es una invertible la matriz que tiene distinto de cero determinante. Por lo tanto, es positivo o negativo. Dos bases de $V$ determinar la misma orientación, si la transición de la matriz tiene determinante positivo.

Así, una orientación en $V$ es una clase de equivalencia de bases de $V$. Usted puede pensar que el grupo homomorphism $$ \begin{align} GL(V) \overset{\Large\epsilon}{\longrightarrow} &\{-1, +1\} \\ A \longmapsto & \frac{\det A}{|\det A|}. \end{align} $$

Dos bases, cuya matriz de transición vidas en $GL^+(V) = \epsilon^{-1}(1)$ determinar la misma orientación, y dos bases, cuya matriz de transición vidas en otros coset $\epsilon^{-1}(-1)$ determinar orientaciones opuestas.

En un suave colector, cada espacio de la tangente es un espacio vectorial $T_pM$ de la misma dimensión. Un no-desaparición de su mejor forma determina una base en cada espacio de la tangente en una forma que varía suavemente como $p$ varía acerca de $M$.

Es interesante pensar en una no-orientable colector, dicen que el abierto cinta de Moebius $$ [0, 1] \times (0, 1) / \sim $$ donde $(0, y) \sim (1, 1 - y)$. Los bordes derecho e izquierdo de la plaza se identifican con una media vuelta. Cualquier coherente elección de base en cada punto en el interior de la plaza, no puede extenderse a la izquierda (= derecho) del borde.

Por ejemplo, el estándar de base $\{\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\}$ que es dual a la $2$forma $dx \wedge dy$ no puede ser extendida de forma continua (digamos, sin problemas) a la izquierda/a la derecha. La matriz de transición sería $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $$ en un lado o en el otro.