Utilidad de la terminación en el álgebra conmutativa

Question

Después de estudiar sobre la finalización de un módulo $M$ sobre un anillo $A$ (por ejemplo $I$ -completado por los radicales), me quedan las siguientes preguntas:

(i) ¿Cuál es la utilidad del concepto de terminación en el álgebra conmutativa o la geometría algebraica, aparte del punto filosófico de que toda secuencia de Cauchy es convergente?

(ii) ¿Qué nos permite conseguir en el plano técnico y a qué tipo de conocimientos geométricos conduce?

Answer 1

Si no has ido muy lejos en la geometría algebraica, entonces este ejemplo está probablemente fuera de tu radar. Suponga que tiene una "curva plana" en $\mathbb{P}^2$ dado por $f(x,y)=0$ . Podemos estudiarlo "localmente analítico" (lo que suele interpretarse como localmente en la topología analítica en contraposición a la topología de Zariski).

Supongamos que queremos estudiar una vecindad de un punto cerrado definido por $\frak{m}$ . Para obtener una vecindad Zariski sólo tenemos que localizar el anillo en $\frak{m}$ . Pero ahora tenemos un anillo local y podríamos tomar el $\frak{m}$ -Consecución de los objetivos. Esto "se acerca" a una vecindad analítica del punto.

Si el punto es regular/suave, entonces se verá "plano" ya que el anillo será simplemente isomorfo a $k[[s,t]]$ (por el teorema de la estructura de Cohen o probablemente algo más débil). Así que analíticamente todos los puntos suaves de las curvas planas se ven igual (lo que esperaríamos por supuesto).

Lo interesante es con las singularidades. Sería impar tratar de clasificar las singularidades Zariski localmente. Para ver este sorteo (sobre $\mathbb{R}$ ) la curva $y^2=x^2$ que es sólo un par de líneas y dibujar $y^2=x^2-x^3$ la curva nodal. La singularidad en $(0,0)$ ¡¡¡"deberían" ser iguales porque localmente son dos líneas que se cruzan incluso con las mismas pendientes!!!

Al pasar a la finalización recordamos esta información. Intenta completar los anillos en $(x,y)$ y haciendo un cambio de coordenadas para demostrar que son isomorfas. Hay una amplia literatura sobre este tema, así que no me extenderé más. La idea de clasificar las singularidades analíticas localmente ha tenido mucho éxito y la teoría de las singularidades de las curvas planas ya es interesante y debería ser abordable para ti si tienes un manejo de las terminaciones.

Answer 2

La respuesta de Matt ofrece cierta justificación desde una perspectiva geométrica. Sin embargo, he pensado que también podría beneficiarse de un punto de vista algebraico. Desde esta perspectiva, el punto principal es algo que Matt mencionó de pasada: el teorema de la estructura de Cohen.

Supongamos que su dominio de investigación son los anillos noetherianos y que está interesado en utilizar herramientas homológicas. Un anillo noetheriano arbitrario puede tener propiedades estructurales muy extrañas. Sin embargo, el teorema de la estructura de Cohen dice que si $R$ es un completa Anillo local noetheriano, entonces

1. $R$ es isomorfo a un cociente (anillo de factores) de un anillo de series de potencias en un número finito de variables sobre un campo (o sobre un DVR completo, en el caso de característica mixta), y

2. Si $R$ contiene un campo, entonces $R$ es un módulo finito sobre un subring local regular. En efecto, si $x_1, \ldots, x_d$ es cualquier sistema de parámetros para $R$ y $k$ es el campo de coeficientes para $R$ (es decir, un subcampo de $R$ que es isomorfo a su campo de residuos, que siempre existe, de nuevo por los resultados de Cohen), entonces el subring $A=k[[x_1, \ldots, x_d]]$ de $R$ es isomorfo a un anillo de series de potencias en $d$ variables, y $R$ es finito como un $A$ -módulo.

Estos dos datos son increíblemente útiles si se trabaja con un anillo completo. Pero tu pregunta se refería a la utilidad del proceso de finalización. El punto aquí es que cuando $R$ es un anillo noetheriano local, el morfismo $R \rightarrow \hat R$ es fielmente plana, y para cualquier finito $R$ -Módulo $M$ tenemos $\hat M \cong M \otimes_R \hat R$ . Esto significa que para encontrar información homológica (y de otro tipo) sobre $R$ sus módulos y sus ideales, a menudo se puede pasar a la terminación, que (como se ha señalado anteriormente) suele ser un anillo mucho más fácil de trabajar que $R$ sí mismo.