Función decreciente que se comporta como $1-x^2$ para valores pequeños de $x$ y como $e^{-x}$ para valores grandes de $x$

Question

Estoy tratando de encontrar una función con un dominio $D = \mathbb{R}_+$, que se comporte como $1-x^2$ para valores pequeños de $x$ y como $e^{-x}$ para valores grandes de $x.

Edición: Y que sea monótonamente decreciente.

He pensado en utilizar la distribución de $\chi^2$ o una combinación de funciones logísticas añadiendo una función de densidad "normal simétrica".

Me alegraría si alguien pudiera ayudarme. ¿O hay un método general para aproximarse a este tipo de problemas?

Answer 1

Consideremos una función $f\colon\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ definida por $$ f(x) = \frac{1+ax+x^2}{1+bx+x^2}e^{-x} $$ para $a,b\in\mathbb{R}$ a elegir. Tenemos las acotaciones correctas cuando $x\to\infty$, es decir $f(x) \displaystyle\operatorname*{\sim}_{x\to\infty} e^{-x}$ (ese fue el punto de elegir esta forma particular para $f$). Ahora, elijamos $a,b$ de manera que $$ f(x) \operatorname*{=}_{x\to0^+} 1-x^2 + o(x^2) $$

Haciendo una expansión de Taylor de $f$ en $0$: $$ f(x) = 1 + (a - b - 1) x + \left( \frac{1}{2} - a + b - a b + b^2\right) x^2 + o(x^2) $$

descubrimos que debemos tener $a-b=1$ y $b+b^2-a (b+1)=-\frac{3}{2}$ para que los coeficientes de $x$ se cancelen y el de $x^2$ sea $1$. Resolviendo, obtenemos $$ a = \frac32,\quad b = \frac12 $$ eso es $$ f(x) = \frac{1+\frac{3}{2}x+x^2}{1+\frac{1}{2}x+x^2}e^{-x} = \frac{2+3x+2x^2}{2+x+2x^2}e^{-x} $$

PD: como bonificación, dado que el denominador nunca se cancela, tenemos que $f$ está realmente definida en $\mathbb{R}$, no solo en $\mathbb{R}_+$; y la función es decreciente de forma monótona en $(0,\infty)$. (Aunque, para ser honesto, al principio no estaba apuntando a eso, y vi la edición del OP después.)

Answer 2

$$e^{-x^2}(1-x^2)+\frac{x^3}{x^3+1}e^{-x}$$

Answer 3

Otra forma: deja que

$$f(x)= e^{-g(x)}$$

para algún $g(x)$ tal que $g(x) \sim x$ cuando $x\to \infty$ y $g(x) \sim x^2$ cuando $x \to 0$. Por ejemplo, podemos tomar

$$g(x)=\frac{x^2}{x+1}$$

o, quizás más elegante (y aún), $g(x)= \sqrt{x^2+1/4}-1/2$, lo que da:

$$ f(x) = \exp\left( \frac{1-\sqrt{4{{x}^{2}}+1}}{2}\right) $$

con $f(x) = 1 - x^2 + O(x^4)$ alrededor de $x=0$

Answer 4

Después de un comentario realizado arriba, debajo de la pregunta del OP:

Uno puede querer plantear la pregunta de si $f$ se requiere suave o al menos $C^1$ (nota que la función de mi otra respuesta es efectivamente suave), de lo contrario la siguiente función continua no decreciente $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ hace — trivialmente — el trabajo: $$ f(x) = \begin{cases} 1-x^2 & 0 \leq x < x_0\\ e^{-x} & x > x_0\\ 1 & x < 0 \end{cases} $$ donde $x_0\simeq 0.714$ es la única solución positiva a la ecuación $e^{-x} = 1-x^2$.