En algunas áreas aplicadas que tener un poco de aroma de análisis funcional (p. ej., recibiendo el error atado en los métodos numéricos), es algo atractivo para mí pensar de las funciones de $\mathbb R \to \mathbb R$ como de dimensiones infinitas vectores $f$ real con los "innumerables índice" $x \in \mathbb R$, como si $f(x) \approx f_x$, al igual que abordar el elemento de contables-índice de vector podría parecerse a $v_3$ o $v_{\frac 3 4}$ (que también parece estar bien, tan pronto como $\mathbb Q$ es contable? y viceversa $v \in \mathbb R^3$ puede ser visto como $v \in \mathbb [0; 3]\cap\mathbb N \to \mathbb R$; y nuestra notación $v_3$ es un cierto tipo de "alarmada"). Hay fallas fundamentales en este tipo de pensamiento que podría conducir a la contra-intuitivo errores (algo que parece válido\inválida si usted piensa de $x$ como un incontable índice, pero en realidad es no válido\válido; al igual que, suceda algo malo acerca de la integridad o la ?)
Respuestas
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No, no hay nada particularmente malo con eso. Es, por ejemplo, perfectamente coherente con la forma en que las secuencias están señalados. Por ejemplo una secuencia de números reales $x_1,x_2,x_3,...$ es, formalmente, sólo una función $x : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, y aunque rara vez se utiliza a veces es conveniente usar la notación de función $x(1),x(2),x(3),...$.
Pero puede haber un par de formas en las que esto podría meter en problemas. Estos "errores estratégicos" (si no los errores lógicos) puede hacer que sea difícil para aquellos con formación clásica en la notación matemática para seguir su argumento (aunque si el público entiende usted, entonces esto podría ser un no-problema).
- Usted podría terminar por confundir la notación con otros usos. Para los casos en que, a veces, $f_x$ es utilizado para "la derivada parcial con respecto a $x$".
- O, usted podría terminar olvidando que el dominio de la función no es un espacio discreto, como lo es con $\mathbb{N}$, y debido a esto la función tiene algunas restricciones en su comportamiento, tales como la continuidad o la diferenciabilidad.
No hay nada de malo sobre el tratamiento de las funciones como vectores en un espacio de innumerables dimensión. El conjunto de funciones de $S\rightarrow\mathbb R$ es un espacio vectorial bajo pointwise la suma y la multiplicación escalar para cualquier conjunto $S$, y esto es totalmente sensible vector de espacio para pensar, así que nada de lo que se desprende de la estructura de espacio vectorial solo va a estar bien.
Sin embargo, de preguntar acerca de las nociones acerca de la integridad, que es una consecuencia de la estructura de una normativa espacio vectorial, pero no de un espacio vectorial. Esto es más problemático, ya que no hay norma canónica en $\mathbb R\rightarrow\mathbb R$, que yo sepa. El único de los ejemplos más comunes que puedo pensar son:
El uniforme de la norma en el espacio de la delimitadas las funciones de $\mathbb R\rightarrow\mathbb R$. Esto es $\|f\|=\sup_{x\in \mathbb R}|f(x)|$. Este espacio está completo.
El $L^p$ norma adecuada subespacio del espacio de las funciones del modulo de la equivalencia de la relación de $f\sim g$ si $f=g$ en casi todas partes. Esto es $\|f\|_p=\left(\int |f(x)|^p\,dx\right)^{1/p}.$ Estos espacios también están equipadas para $1\leq p \leq \infty$.
Se puede cocinar de diversas otras normas, pero la idea es que el espacio de funciones de $\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ no tiene muchas propiedades hasta que empiece a darle (o subconjuntos/cocientes de) más de la estructura, tales como la inclusión de una norma adecuada a la aplicación.
Si usted va a pensar en base a los elementos de las funciones de $\delta_{x}$ que $1$ $x$ $0$ lo contrario, y si quieres escribir $f$ como una suma de dichas funciones, a continuación, una puramente algebraicas lineales enfoque no funcionará porque no sólo tiene combinaciones lineales finitas de la base de elementos.
La siguiente cosa que usted podría tratar de hacer es poner una topología en el espacio con el fin de permitir la más general de las sumas. Sin embargo, aún así, usted tendrá un tiempo difícil pensar de una manera que usted puede considerar la función de ser un incontable cantidad. Incontables sumas de ortonormales base de los elementos permitidos en un espacio de Hilbert, pero sólo si no hay más que un contable número de no-cero de los coeficientes. En general, esto se convierte en un problema para la normativa de los espacios.
A continuación usted puede intentar algunos exóticos topología que le da un espacio vectorial topológico. Que se tarda demasiado esfuerzo sin ningún tipo de rentabilidad real.
Usted podría tratar de imponer la mensurabilidad, pero es tan fácil perder la pointwise propiedades cuando se empieza a buscar en las topologías en espacios de Lebesgue.
O usted podría empezar a buscar en los espacios de distribuciones ... eso es un montón de trabajo.
Definir su estructura cuidadosamente, y tal vez tengan algo nuevo e interesante.
