Si asumimos ZF con $\neg$ AC, ¿es la colección de todos los grupos un conjunto?

Question

He aprendido que el axioma de elección es equivalente a la afirmación de que todo conjunto puede estar dotado de una estructura de grupo. Ahora, buscando respuestas a la pregunta formulada en el título, he encontrado que la explicación canónica de por qué la colección de todos los grupos es una clase propia es que, para cualquier conjunto (o realmente para cualquier cardinalidad) existe un grupo libre sobre los elementos de ese conjunto. Me pregunto:

1)¿El hecho de que tengamos tantos grupos libres está relacionado con/depende de AC?

2)¿Son los grupos que perdemos al pasar de CA a $\neg$ AC lo suficiente como para que la colección de grupos se convierta en un conjunto?

Answer 1

No, la elección no es necesaria para demostrar que la clase de grupos no es un conjunto. Hay varias maneras de ver esto.

• La clase de los conjuntos de un elemento no es un conjunto, y a cada conjunto de un elemento se le puede dar una estructura de grupo (el grupo trivial), por lo que hay muchos grupos triviales propios de la clase.

• Si quieres una clase propia de no isomorfo grupos, esto todavía se puede hacer: siempre y cuando $X$ es un infinito bien ordenable podemos construir (¡sin elección!) un grupo libre con dominio $X$ . La afirmación se desprende ahora de Burali-Forti .

• E incluso esto es innecesario: Para $X$ un conjunto, podemos -de nuevo, sin elección- formar el grupo libre generado por $X$ . El dominio de este grupo será el conjunto de clases de equivalencia apropiadas de cadenas finitas de $X$ que existe sin elección. Y ahora sólo tenemos que encontrar una clase propia de conjuntos que den lugar a grupos libres no isomorfos de esta manera, y esto no es difícil de hacer. En concreto, este es el método que mencionas en tu pregunta, por lo que la respuesta a tu subpregunta es No, la elección no es necesaria para construir el grupo libre sobre un conjunto. Tenga en cuenta que este grupo es diferente de un grupo libre con dominio igual a un conjunto dado: demostrar que todo conjunto infinito es el dominio de un grupo libre requiere efectivamente la Elección.

Estos principios generales se aplican prácticamente a cualquier tipo de estructura: salvo en casos muy artificiales, la clase de estructuras de un determinado tipo es una clase propia, y a menos que exista un límite en el tamaño de las cardinalidades de estas estructuras (por ejemplo grupos finitos ) entonces existe una clase propia de estructuras no isomorfas de este tipo.

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Además, tu concepción del papel de la Elección en el tamaño del universo es incorrecta. Puedes pensar en un modelo con Elección como si fuera pequeño En realidad, ya que no tiene cualquier conjunto no ordenable; y esto tiene tanto sentido como pensar en un modelo sin elección como pequeña, ya que no tiene suficientes funciones de elección . Y recuerda que la elección se mantiene en el universo construible por lo que cualquier modelo de ZF contiene un submodelo de ZFC; por lo que, en un sentido preciso, se puede ganar elección por perdiendo conjuntos.

Answer 2

Considere, en $ZF$ , la clase propia de Godel $L$ de conjuntos construibles. $(L,\epsilon)$ satisface $ZFC.$

En cuanto a $On,$ los ordinales, tenemos $x\in On\iff (x\in On)^{(L,\epsilon)}.$

Para $x\in On$ dejar $G_x$ sea tal que $(G_x$ es una estructura de grupo en $x)^{(L,\epsilon)}.$

Observe que $(G_x$ es una estructura de grupo en $x)^{(L,\epsilon)}\implies (G_x$ es una estructura de grupo en $x)$ .

Así que, independientemente de $AC$ o $\neg AC$ hay una estructura de grupo en cada ordinal.

Answer 3

Todo singleton puede estar dotado de una estructura de grupo. Incluso si se quiere que no sean isomorfos, se puede dotar a cada conjunto de potencias de una estructura de grupo [conmutativa], utilizando la diferencia simétrica como operación de adición.

No se necesita ninguna elección para demostrar que hay una clase propia de singletons o una clase propia de conjuntos de potencia.