Resuelve este límite utilizando infinitesimales equivalentes

Question

Me dan el siguiente límite, que me piden que resuelva.

$$L=\lim_{x\to 0}\dfrac{2(\tan x-\sin x)-x^3}{x^5}$$

La mayoría de las veces me confundo con infinitesimales equivalentes. Sé que la respuesta correcta a este límite es $\boxed{1/4}$ . Sin embargo, esto es lo que hice:

$$\left. \begin{array}{l} &\sin x \approx x\\ &\tan x \approx x \end{array} \right\} \Rightarrow L=-\lim_{x \to 0} \dfrac{x^3}{x^5}=-\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2}=\boxed{-\infty}$$

Sé que este problema se puede resolver tomando 3 términos en el Serie MacLaurin de cada función (es decir, para las funciones seno y tangente). Pero a veces esto no siempre es necesario. A veces basta con tomar el primer término distinto de cero de su serie de MacLaurin.

Pero por lo que me enseñaron en la escuela, el infinitésimo equivalente se define como el primer término distinto de cero de la serie de MacLaurin de una función.

¿Cuántos términos debo coger para ir sobre seguro en cada caso? ¿Por qué no basta con tomar sólo el primer término distinto de cero?

Answer 1

El denominador es $x^5$ Así que necesita subir de grado $5$ en el numerador. No hay ninguna regla rígida del tipo "toma tres términos por si acaso".

Piensa en $$ \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3} $$ No puede detenerse en el grado $1$ porque esto sólo daría $$ \lim_{x\to0}\frac{o(x)}{x^3} $$ que no lleva información suficiente para calcular el límite. Si pasa a grado $3$ se obtiene $$ \lim_{x\to0}\frac{x-(x-x^3/6+o(x^3)}{x^3}= \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{6}+\frac{o(x^3)}{x^3}\right) $$ que en cambio lleva la información solicitada, porque $\lim_{x\to0}\frac{o(x^3)}{x^3}=0$ .

Si el denominador es $x^k$ generalmente hay que ir a la licenciatura $k$ también en el numerador.

En tu caso:

• $\displaystyle\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5)$

• $\displaystyle\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$

y por lo tanto \begin{align} 2(\sin x-\tan x)-x^3 &=2x+\frac{2x^3}{3}+\frac{4x^5}{15}-2x+\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{60}-x^3+o(x^5) \\[4px] &=\frac{x^5}{4}+o(x^5) \end{align} Como antes, tu límite es $1/4$ .

Usted puede parada antes del grado $5$ si los términos de grado inferior no se cancelan, por lo que se puede hacer "incrementalmente"; en este caso, los términos de grado $1$ así como los términos con grado $3$ (sin término de grado par).

Answer 2

$\tan(x)\sim x$ y $\sin x\sim x$ implican que $$\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x)-\sin x}{x}=0,$$ lo que significa que la diferencia $\tan(x)-\sin x$ llega a cero más rápido que $x$ . Pero ¿y si comparamos $\tan(x)-\sin x$ con el infinitesimal más rápido $x^3$ ? En este momento no lo sabemos. Aquí necesitamos más información sobre el comportamiento de $\tan(x)-\sin x$ como $x\to 0$ . El exponente $5$ en el denominador dice que debemos utilizar la misma "precisión" también en el numerador. Así que necesitamos la expansión de sen(x) y tan(x) hasta el orden 5.

Considere el siguiente ejemplo similar. Tenemos que $$\lim_{x\to 0}\frac{(x+ax^5)-(x-x^3)-x^3}{x^5}=a$$ pero no somos capaces de encontrar el límite si simplemente utilizamos $x+ax^5\sim x$ y $x-x^3\sim x$ .