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O2n(R)GLn(C)=U(n)

Durante una conferencia de una Mentira Álgebras de ayer, el profesor de la clase se expresa de la siguiente hecho sin pruebas

O2n(R)GLn(C)=U(n)

Tenga en cuenta que estamos viendo las GLn(C) como elementos de GL2n(R)

Me preguntaba si había una manera rápida de ver esto ?

Puedo ver por qué esto es así en n=1, donde tenemos que demostrar que O2(R)GL1(C)=U(1)

Podemos identificar los elementos de GL1(C) 2×2 matrices de la forma

[xyyx] where x,yR and whose determinant x2+y2 en un valor distinto de cero.

Podemos identificar a U(1) con el grupo de rotación del plano de SO(2). Para una matriz de AO2(R)GL1(C), tenemos que det(A)=x2+y2 es 1 o 1 y la suma de los cuadrados implica que el determinante de a A 1 y, por tanto, A debe ser en SO(2).

Ahora me doy cuenta de que esto tiene que ver con la de 2 de las 3 de la propiedad

https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_group#2-out-of-3_property

Gracias de antemano.

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Rolf Hoyer Puntos 7474

Su incrustación GLn(C)GL2n(R) reemplaza cada entrada compleja a+ib in your given n×n complex matrix with the 2×2 block abba of real entries to form a 2n×2n real de la matriz.

Demostrando la deseada intersección es fácil si usted caracterizar unitaria de las matrices como aquellos (complejo) de matrices de M tal que M1=M donde M es la transpuesta conjugada, y ortogonal de matrices como aquellos (real) de matrices de A tal que A1=AT. Su deseada de la declaración es entonces una formal consecuencia de los dos siguientes hechos:

  1. La incrustación ϕ:GLn(C)GL2n(R) es un homomorphism de los grupos, es decir, se conserva la multiplicación de la matriz ϕ(M1M2)=ϕ(M1)ϕ(M2). (En particular, la imagen de un inverso es el inverso de la imagen).
  2. La incrustación ϕ convierte conjugado transpone a transpone:para cualquier MGLn(C),ϕ(M)=ϕ(M)T.

Con estos dos datos podemos ver que M1=M si y sólo si ϕ(M)1=ϕ(M)T, como se desee.

El primer hecho es necesario incluso ver las GLn(C) como elementos de GL2n(R), y es fácil de comprobar, aunque la notación puede ser un poco desordenado.

El segundo hecho es también inmediata, ya que tomando la transpuesta de una 2n×2n real de la matriz en la imagen de ϕ consiste en externamente la transposición de la 2×2 bloques el uno con el otro y, a continuación, internamente colocación de cada bloque de abba con el bloque de abba. Esto se corresponde, precisamente, a la toma de la conjugada transpuesta de la matriz original, como se desee.

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