$O_{2n}(\mathbb{R}) \cap GL_{n}(\mathbb{C})=U(n)$

Question

Durante una conferencia de una Mentira Álgebras de ayer, el profesor de la clase se expresa de la siguiente hecho sin pruebas

$O_{2n}(\mathbb{R}) \cap GL_{n}(\mathbb{C})=U(n)$

Tenga en cuenta que estamos viendo las $GL_{n}(\mathbb{C})$ como elementos de $GL_{2n}(\mathbb{R})$

Me preguntaba si había una manera rápida de ver esto ?

Puedo ver por qué esto es así en $n=1$, donde tenemos que demostrar que $O_{2}(\mathbb{R}) \cap GL_{1}(\mathbb{C})=U(1)$

Podemos identificar los elementos de $GL_{1}(\mathbb{C})$ $2 \times 2$ matrices de la forma

$\begin{bmatrix} x&-y\\ y&x\\ \end{bmatrix}$ where $x,y \in \mathbb{R}$ and whose determinant $x^{2}+y^{2}$ en un valor distinto de cero.

Podemos identificar a $U(1)$ con el grupo de rotación del plano de $SO(2)$. Para una matriz de $A \in O_{2}(\mathbb{R}) \cap GL_{1}(\mathbb{C})$, tenemos que $det(A)=x^{2}+y^{2}$ es $1$ o $-1$ y la suma de los cuadrados implica que el determinante de a $A$ $1$ y, por tanto, $A$ debe ser en $SO(2)$.

Ahora me doy cuenta de que esto tiene que ver con la de 2 de las 3 de la propiedad

https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_group#2-out-of-3_property

Gracias de antemano.

Answer 1

Su incrustación $\mathit{GL}_n(\Bbb C) \hookrightarrow\mathit{GL}_{2n}(\Bbb R)$ reemplaza cada entrada compleja $$a+ib$$ in your given $n\times n$ complex matrix with the $2\times 2$ block $$\begin{matrix} a & -b \\ b & a\end{matrix}$$ of real entries to form a $2n\times 2n$ real de la matriz.

Demostrando la deseada intersección es fácil si usted caracterizar unitaria de las matrices como aquellos (complejo) de matrices de $M$ tal que $M^{-1} = M^*$ donde $M^*$ es la transpuesta conjugada, y ortogonal de matrices como aquellos (real) de matrices de $A$ tal que $A^{-1} = A^T$. Su deseada de la declaración es entonces una formal consecuencia de los dos siguientes hechos:

1. La incrustación $\phi: \textit{GL}_n(\Bbb C) \hookrightarrow \textit{GL}_{2n}(\Bbb R)$ es un homomorphism de los grupos, es decir, se conserva la multiplicación de la matriz $\phi(M_1M_2) = \phi(M_1)\phi(M_2)$. (En particular, la imagen de un inverso es el inverso de la imagen).
2. La incrustación $\phi$ convierte conjugado transpone a transpone:para cualquier $M\in \textit{GL}_n(\Bbb C)$,$\phi(M^*) = \phi(M)^T$.

Con estos dos datos podemos ver que $M^{-1} = M^*$ si y sólo si $\phi(M)^{-1} = \phi(M)^T$, como se desee.

El primer hecho es necesario incluso ver las $\textit{GL}_n(\Bbb C)$ como elementos de $\textit{GL}_{2n}(\Bbb R)$, y es fácil de comprobar, aunque la notación puede ser un poco desordenado.

El segundo hecho es también inmediata, ya que tomando la transpuesta de una $2n\times 2n$ real de la matriz en la imagen de $\phi$ consiste en externamente la transposición de la $2\times 2$ bloques el uno con el otro y, a continuación, internamente colocación de cada bloque de $\begin{matrix} a & -b \\ b & a\end{matrix}$ con el bloque de $\begin{matrix} a & b \\ -b & a\end{matrix}$. Esto se corresponde, precisamente, a la toma de la conjugada transpuesta de la matriz original, como se desee.