Durante una conferencia de una Mentira Álgebras de ayer, el profesor de la clase se expresa de la siguiente hecho sin pruebas
O2n(R)∩GLn(C)=U(n)
Tenga en cuenta que estamos viendo las GLn(C) como elementos de GL2n(R)
Me preguntaba si había una manera rápida de ver esto ?
Puedo ver por qué esto es así en n=1, donde tenemos que demostrar que O2(R)∩GL1(C)=U(1)
Podemos identificar los elementos de GL1(C) 2×2 matrices de la forma
[x−yyx] where x,y∈R and whose determinant x2+y2 en un valor distinto de cero.
Podemos identificar a U(1) con el grupo de rotación del plano de SO(2). Para una matriz de A∈O2(R)∩GL1(C), tenemos que det(A)=x2+y2 es 1 o −1 y la suma de los cuadrados implica que el determinante de a A 1 y, por tanto, A debe ser en SO(2).
Ahora me doy cuenta de que esto tiene que ver con la de 2 de las 3 de la propiedad
https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_group#2-out-of-3_property
Gracias de antemano.