Supongamos que tengo una matriz simétrica A con las entradas en un campo finito. En particular, tengo el caso en mente donde desean tratar las entradas como elementos de $A \in {0,1}^{n \times n}$ y $GF(2)$. ¿Cuánto se sabe acerca del problema de valor propio en este caso? ¿Hay un teorema espectral? ¿Hay rápidos algoritmos para calcular autovectores?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No estoy muy seguro de lo que significa un teorema espectral en este contexto. Así que voy a enumerar algunos de los pensamientos o hechos que vienen a la mente, y puede estar relacionado con lo que usted quiere preguntar.
- Más a menudo que no los autovalores pertenecen a un campo de ampliación de $GF(2)$. Por lo tanto, encontrar los vectores propios y valores propios que nos obliga a definir primero los extensioin campos. Que es sencillo.
- La forma canónica de Jordan de cualquier matriz es todavía allí. Nominalmente existe más de una clausura algebraica $K$$GF(2)$, pero obviamente conseguir lejos con un número finito de subcampo de $K$ generado más de $GF(2)$ por los autovalores.
- Usted pregunte específicamente sobre matrices simétricas. Aquí hay una marcada diferencia en el caso de los simétrica real de las matrices. La simetría de una matriz no encaja del todo bien con ella un campo de característica dos. No hay ninguna razón para esperar que una matriz sea diagonalizable (ni siquiera sobre $K$). Como ejemplos puedo ofrecer $$ A=\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)\quad\text{y}\quad B=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right). $$ El polinomio característico de a$A$$x^2+1=(x+1)^2$. Pero vemos que el espacio propio de la suela autovalor $\lambda=1$ está a sólo 1-dimensional, y, por tanto, $A$ no es diagonalizable. Del mismo modo que el polinomio característico de a$B$$x^2$, y de nuevo el espacio propio de la suela autovalor $\lambda=0$ 1-dimensional. En ambos casos, el espacio propio es atravesado por $(1,1)^T$.
- A través de algoritmos búsqueda de una generalizada subespacio propio de descomposición (=el Jordán bloques) no debe ser más difícil que la factorización del polinomio característico. Existe un algoritmo debido a Berlekamp para hacer eso. No he pensado en detalle, así que por favor tome esto con un grano de sal.
