¿Cada primepower$p^n$ divide algún número del formulario?
PS
donde ayb son números naturales y gcd (a, b) = 1? Sin esta restricción, la respuesta es claramente sí.
Si no, ¿cuáles son las condiciones para$$a^a + b^b$?
Revisé varios poderes primarios y siempre encontré una solución, pero me gustaría tener una prueba general.
La respuesta es sí, hay infinitamente muchas soluciones incluso para $a=1$. Usted puede dar un ejemplo de la solución de forma explícita: $a=1$ $b=(p-1)p^n-1$ que hace el trabajo.
La razón es que el módulo de $a^a \bmod m$ sólo depende de $a \bmod m$$a \bmod \varphi(m)$. Por lo $a^a \bmod m$ será el mismo si el valor de $a \bmod lcm(n,\varphi(n))$ es el mismo.
En el caso de $m = p^n$,$M:=lcm(n,\varphi(n)) = (p-1)p^n$. Ahora $1^1+(-1)^{-1}\equiv 0 \bmod M$, por lo que cualquier cesión de $a$ $b$ tal que $a \equiv 1 \bmod M$ $b \equiv -1 \bmod M$ conduce a $a^a + b^b \equiv 0 \bmod p^n$.
Tenga en cuenta que este enfoque no se limita a primer poderes, pero funciona para arbitrario de números en lugar de $p^n$.
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