Demostrar que .

Question

(Se trata de Fibonacci números; $f(1) = 0$, $f(3) = 1$, $f(5) = 5$, etcetera.) Tengo problemas para probar esto con inducción, sé cómo probar el caso base y presentar la hipótesis de inducción pero estoy familiarizado con la prueba de series como esta. Cualquier ayuda sería genial. :)

Answer 1

Asumir que esto es cierto para $ n $. Ahora, consideremos la suma:

$$ F_1 + F3 + \dots + F{2n-1} + F_{2n+1}$$

Por hipótesis de inducción, la suma sin la última pieza es igual a $ F_{2n} $ y por lo tanto, es todo igual a:

$$ F{2n} + F{2n+1} $$

Y es la definición de $ F_{2n+2} $, por lo que hemos podido comprobar que nuestra hipótesis de inducción implica la igualdad:

$$ F_1 + F3 + \dots + F{2n-1} + F{2n+1} = F{2n+2}$$

Que termina la prueba

Answer 2

Sugerencia: Si el que puede utilizar la secuencia de números de Fibonacci se define por la relación de recurrencia $$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$$ then you can prove it by induction, since $% $ $\begin{align}F(2(n+1))&=F(2n+2)\&=F(2n+1)+F(2n)\&=F(2n+1)+\underbrace{F(2n-1)+\ldots+F(5)+F(3)+F(1)}_{=F(2n) \text{ by induction hypothesis}}\end{align}$

Answer 3

A continuación formalmente no es correcta ya que utiliza el símbolo '$\cdots$' pero da una idea. La prueba puede ser formalizada mediante inducción. Esto ya fue hecho por @Jytug. $$\begin{eqnarray} F(1) + F(3) + F(5) + \cdots + F(2n-1)&= \ 0+\left(F(1) + F(3) + F(5) + \cdots + F(2n-1)\right) &= \ F(0)+\left(F(1) + F(3) + F(5) + \cdots + F(2n-1)\right)&=\ \left(F(0)+F(1)\right) +\left( F(3) + F(5) + \cdots + F(2n-1)\right)&=\ F(2)+\left( F(3) + F(5) + \cdots + F(2n-1)\right)&=\ \left(F(2)+F(3)\right) + \left( F(5) + \cdots + F(2n-1)\right)&=\ F(4) + \left( F(5) + \cdots + F(2n-1)\right)&=\ \cdots&=\ F(2n-2)+F(2n-1)&=\ F(2n)& \end{eqnarray} $$

Answer 4

Desde $F(2n)-F(2n-2)=F(2n-1)$, $$\begin{align} \sum{k=1}^nF(2k-1) &=\sum{k=1}^n(F(2k)-F(2k-2))\ &=\sum{k=1}^nF(2k)-\sum{k=0}^{n-1}F(2k)\ &=F(2n)-F(0)\[9pt] &=F(2n) \end {alinee el} $$

Answer 5

Aquí es una solución usando la fórmula de Binet:

$F(n) = a \alpha^n + b \beta^n$, para algunas de las $a,b \in \mathbb R$, e $\alpha,\beta$ las raíces de $X^2=X+1$. (Su valor exacto no es lo realmente importante aquí).

Ahora, $ \alpha^1 + \alpha^3 + \cdots + \alpha^{2n-1} =\alpha(1+\alpha^2 + \alpha^4 + \cdots + \alpha^{2n-2}) =\alpha\dfrac{\alpha^{2n}-1}{\alpha^2-1} =\alpha^{2n}-1 $ debido a $\alpha=\alpha^2-1$.

De forma análoga, $ \beta^1 + \beta ^3 + \cdots + \beta ^{2n-1} =\beta ^{2n}-1 $.

Por lo tanto, $ F(1) + F(3) + F(5) + \cdots + F(2n-1) = a(\alpha^{2n}-1)+b(\beta ^{2n}-1)=F(2n)-a-b $.

Finalmente, $a+b=F(0)=0$.