¿Un método general o simple para resolver este problema iterativo / recursivo?

Question

Tengo el siguiente iteración $$ y_n\mapsto n\sum_{m=1}^{n+1}y_m $$ comenzando con $y_1$ ser un número real positivo. Hay un método estándar para encontrar el coeffcients de todos los $y_n$ después $k<\infty$ iteraciones? La recursividad (?) se aplica a cada paso - esta es la primera de tres iteraciones: $$ y_1\mapsto y_1+y_2\mapsto(y_1+y_2)+2(y_1+y_2+y_3)\\ \mapsto(y_1+y_2)+2(y_1+y_2+y_3)+2((y_1+y_2)+2(y_1+y_2+y_3)+3(y_1+y_2+y_3+y_4)). $$ Los paréntesis son sólo para una mejor orientación. Después de la segunda iteración de los coeficientes se $3,3,2$.

Se asemeja a la iteración del método de los fractales si $y_1$ fue complejo; con la salvedad de que aquí sólo un número finito de pasos que me interesa ($k\to\infty$ obviamente diverge).

Cualquier ayuda apreciada - métodos, el resultado, la literatura.

Answer 1

Después de calcular varias iteraciones y buscar un patrón, parece que el coeficiente de$y_n$ después de$k$ itera de este mapa ($1\le n\le k+1$) es $$ \ frac {(2 k-n +1)!} {2 ^ {k-n +1} (k-n +1)!}. $$ Dada esta conjetura, probablemente no sea demasiado difícil probarlo por inducción.