Esto es lo que tengo hasta ahora:
Considere $\mathbb{C}[x]/(x)$ . Este anillo son todos los polinomios de coeficiente complejo en $x$ y al cotizarse por el ideal $(x)$ Estamos sustituyendo $0$ por cada $x$ en el polinomio, que elimina todos los términos excepto el de grado cero, por lo que $\mathbb{C}[x]/(x) \cong \mathbb{C}$ . Del mismo modo, cuando cotizamos por el ideal $(x-1)$ fijamos cada $x$ en el polinomio a $1$ y de nuevo tenemos que $\mathbb{C}/(x-1) \cong \mathbb{C}$ . Llamar al módulo $\mathbb{C}[x]/(x)=M$ y el otro $N$ . La diferencia entre los módulos $M$ y $N$ está en la multiplicación por el anillo $\mathbb{C}[x]=R$ . Sea $p(x)\in R$ y que $m\in M$ y $n\in N$ . $p(x)\cdot m=p(0)m$ mientras que $p(x)\cdot n=p(1)n$ . Así, incluso el pensamiento $M$ y $N$ son conjuntos equivalentes pero se comportan de forma diferente como módulos sobre el mismo anillo $R$ . Un homomorfismo $\phi \in \operatorname{Hom}(M,N)$ debe satisfacer para todo $m, m' \in M$ y $p, q \in R$ , $\phi(p(x)m+q(x)m')=p(x)\phi(m)+q(x)\phi(m')$ Considere la $(1-x)\in R$ sabemos que $\phi$ se determina por el lugar donde envía 1, ya que para cualquier $c\in\mathbb{C}$ , $\phi(c)=\phi(1c)=c\phi(1)$ desde $\phi$ es un homomorfismo sobre $R$ . Vemos que $\phi(1)=\phi((1-0)1)=\phi((1-x)1)=(1-x)\phi(1)=(1-1)\phi(1)=0\phi(1)=0$ . Por tanto, sólo existe el homomorfismo trivial y $\operatorname{Hom}(M,N)$ es el módulo cero.
¿Es esto correcto?
Además, ¿suele ocurrir que para un determinado anillo $R$ y dos elementos distintos no unitarios $r, r' \in R$ el módulo de homomorfismos del módulo $R/(r)$ a $R/(r')$ es isomorfo a $R/(\gcd(r,r'))$ .
Por ejemplo, si $R=\mathbb{Z}$ y $M=R/(8)$ y $N=R/(12)$ entonces $\operatorname{Hom}(M,N)\cong R/(\gcd(8,12)) = R / (4)$ .
Gracias.
