Detección de mapas etale en puntos reducidos

Question

Supongamos que tengo un morfismo de esquemas para el que sé que el complejo cotangente relativo es trivial, y el mapa sobre subesquemas reducidos es un isomorfismo. ¿Es el mapa un isomorfismo? Más generalmente, dado un morfismo de esquemas con complejo cotangente relativo nulo, que es de presentación finita en los puntos reducidos. ¿Es el mapa de presentación finita, y por lo tanto etale?

(Tal vez una mejor manera de expresar esto es - ¿cuál es la referencia para estas declaraciones? ¿están en SGA o en algún lugar de Illusie?)

Answer 1

Illusie, Complexe cotangent et deformations I, Prop. 3.1.1 (p. 203) es esencialmente lo segundo que has preguntado. Sólo una cuestión técnica: no creo que la gente utilice el término "etale" a menos que el morfismo se presente localmente de forma finita o algo así (¿parece que quieres suponerlo sólo a nivel de esquemas reducidos o algo así?). Sin embargo, sin pensar demasiado, la proposición 3.1.2 (misma página) dice que L_{X/Y} de amplitud perfecta en [0,0] implica que f es formalmente suave... seguramente también tu condición implica que es formalmente etale, que es lo que estás pidiendo en general (sin la suposición de finitud), ¿no?