Anillo local coincide con DVR.

Question

Asumir $A$ es un anillo discreto de la valuación con cociente campo $K$y máximo ideal $\mathfrak{m}$. Si es un anillo local que contiene $S$ $A$ contenida en $K$ % con ideal maximal $\mathfrak{m}$¿Cómo demuestro que $S = A$?

Answer 1

Que $x\in S$. Entonces hay dos posibilidades: % o $x\in A$ $x\notin A$. Si esto último sucede entonces $x^{-1}\in A$ y $x^{-1}\in\mathfrak m$, que $x^{-1}\in\mathfrak m_S$. $x\in S$, Que $1=xx^{-1}\in\mathfrak m_S$, una contradicción.