Coordenadas del ortocentro, centroide y centro de inculación de un triángulo formado en un plano tridimensional

Question

La pregunta es encontrar las coordenadas del ortocentro, el circuncentro y el incentro de un triángulo formado en un plano tridimensional. Para el caso $2D$ es fácil encontrar el punto de intersección de las alturas de cualquiera dos lados y reportar ese punto de intersección como el ortocentro del triángulo. Pero no pude entender cómo determinar la coordenada del ortocentro de un triángulo formado en caso $3D$, es decir, cuyas coordenadas se dan como $(x_i, y_i, z_i)$ $i=1,2,3$ para los tres vértices del triángulo. Pude encontrar la ecuación de la línea que une los dos puntos pero no pude encontrar el ortocentro. Luego intenté encontrar el ortocentro de la proyección del triángulo en los planos $(xy, yz, zx)$. Pero no tengo idea de cómo correlacionar entre los ortocentros de los triángulos proyectados y el del triángulo original. Intenté usar la misma lógica en el circuncentro y el incentro pero no pude completar.

Editar, me enteré de que un caso específico del problema anterior es cuando los vértices están en los ejes $(x, y, z)$ entonces la distancia del origen al ortocentro de dicho triángulo se da simplemente por la distancia perpendicular del origen al plano formado por el triángulo. No pude justificar el hecho anterior. Cualquier intuición sobre por qué esto debería ser cierto será muy apreciada.

¿Puede alguien sugerir un método para manejar tales triángulos? Gracias.

Answer 1

Las coordenadas baricéntricas proporcionan un método simple. Supongamos que nuestro triángulo es $ABC$ y las longitudes de los lados son $a,b,c$. Los valores de $a,b,c$ pueden ser fácilmente calculados usando el teorema de Pitágoras, y las siguientes coordenadas baricéntricas $$ I=[a,b,c],\qquad O=[a^2(b^2+c^2-a^2),b^2(a^2+c^2-b^2),c^2(a^2+b^2-c^2)]$$ $$ H=\left[\frac{1}{b^2+c^2-a^2},\frac{1}{a^2+c^2-b^2},\frac{1}{a^2+b^2-c^2}\right] $$ que podemos resumir como $P=[p_a,p_b,p_c]$, dan la identidad vectorial $$ P = \frac{p_a A+p_b B+p_c C}{p_a+p_b+p_c}$$ a partir de la cual es sencillo calcular las coordenadas cartesianas de $P$ a partir de las coordenadas de $A,B,C$. Es interesante señalar que el teorema de Euler provee un atajo adicional, ya que $3G=A+B+C=2O+H$ nos permite calcular las coordenadas de $H$ a partir de las coordenadas de $O$ (o viceversa) de una manera muy simple.

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Aquí, como es usual, $G,I,O,H$ representan el baricentro, incentro, circuncentro y ortocentro de un triángulo. La derivación de sus coordenadas baricéntricas es directa a partir del cálculo de sus coordenadas trilineales, es decir, a partir del cálculo de sus distancias a los lados del triángulo en términos de $a,b,c$.

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Respecto a tu segunda pregunta: hasta las reflexiones, podemos asumir que $A$ está en el eje positivo de las $x$, $B$ está en el eje positivo de las $y$ y $C$ está en el eje positivo de las $z$. Estamos afirmando que la proyección de $O$ en el plano $ABC$ $\pi$ está dada por el ortocentro de $ABC$. Denotemos dicha proyección como $P$ y consideremos el plano $\pi_A$ que pasa por $O,A,P$. Por la minimalidad de $OP$, $\pi_A$ tiene que ser ortogonal a la línea $BC$: de lo contrario, sería posible mover un poco el plano $\pi_A$ y disminuir la distancia entre $O$ y $\pi\cap\pi_A$. Se sigue que $\pi\cap\pi_A$ es ortogonal a $BC$, y repitiendo el mismo argumento obtenemos que $P$ es el ortocentro de $ABC.

Answer 2

Esta es una solución usando coordenadas cartesianas. Puede usar la propiedad por la cual, si tenemos un segmento cuyas coordenadas de borde están dadas y un punto que lo divide en dos partes, las coordenadas del punto se pueden obtener como el promedio de las coordenadas de borde, ponderado por las longitudes de las dos partes opuestas.

Sean $A$, $B$ y $C$ los vértices de un triángulo, y sean $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ y $(x_3,y_3)$ sus coordenadas, respectivamente. Sea $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ las amplitudes de los ángulos correspondientes. Podemos elegir un lado, por ejemplo $AB$, y trazar la altura desde $C$ hasta su pie $D$ en $AB$, identificando dos partes $AD$ y $DB$. Para determinar las coordenadas del ortocentro $H$, primero podemos calcular las coordenadas de $D$ aplicando la propiedad anterior a las dos partes del lado $AB$. Luego, podemos calcular las coordenadas de $H$ aplicando la misma propiedad a las dos partes de la altura $CD$ identificadas por el ortocentro.

Centrándonos inicialmente en las coordenadas $x$, dado que $\overline{AD}=\overline{AC} \cos \alpha$ y $\overline{DB}=\overline{BC} \cos \beta$, entonces la coordenada $x$ del punto $D$ es

$$\dfrac{x_1 \overline{DB} +x_2 \overline{AD}}{\overline{AB}}= \dfrac{x_1 \overline{BC} \cos{\beta} + x_2 \overline{AC} \cos{\alpha}}{\overline{AB}}$$

Por una propiedad bien conocida del ortocentro, si $R$ es el radio del círculo circunscrito, tenemos que $\overline{CH}=2R\cos{\gamma}$. Además, tenemos que $$\overline{HD}=\overline{AH} \cos{\beta}= 2R\cos{\alpha} \cos{\beta}$$ Por lo tanto, la coordenada $x$ del ortocentro $H$ es

$$\small{\frac{\cos{\gamma} \frac{x_1 \overline{BC} \cos{\beta} + x_2 \overline{AC} \cos{\alpha}}{\overline{AB}} + x_3\cos{\alpha} \cos{\beta}}{\cos{\alpha} \cos{\beta} + \cos{\gamma}}}$$

$$\small{= \dfrac{x_1 \overline{BC} \cos{\beta}\cos{\gamma} + x_2 \overline{AC} \cos{\alpha} \cos{\gamma} + x_3 \overline{AB} \cos{\alpha} \cos{\beta}}{\overline{AB}\cos{\alpha} \cos{\beta} + \overline{AB} \cos{\gamma}}}$$

Porque $\overline{AB}=\overline{AC} \cos{\alpha} + \overline{BC} \cos{\beta}$, sustituyendo en el denominador tenemos

$$\small{\dfrac{x_1 \overline{BC} \cos{\beta}\cos{\gamma} + x_2 \overline{AC} \cos{\alpha} \cos{\gamma} + x_3 \overline{AB} \cos{\alpha} \cos{\beta}}{\overline{BC}\cos{\beta}\cos{\gamma} + \overline{AC}\cos{\alpha}\cos{\gamma} + \overline{AB}\cos{\alpha} \cos{\beta}}}$$

y dividiendo por $\cos{\alpha} \cos{\beta} \cos{\gamma}$,

$$\displaystyle \dfrac{\frac{x_1 \overline{BC}}{\cos{\alpha}} + \frac{x_2 \overline{AC}}{\cos{\beta}} + \frac{x_3 \overline{AB}}{\cos{\gamma}}}{\frac{\overline{BC}}{\cos{\alpha}} +\frac{\overline{AC}}{\cos{\beta}} + \frac{\overline{AB}}{\cos{\gamma}}}$$

Finalmente, usando la ley de los senos, podemos hacer las sustituciones $$\overline{BC}=2R \sin{\alpha}$$ $$\overline{AC}=2R \sin{\beta}$$ $$\overline{AB}=2R \sin{\gamma}$$ obteniendo que la coordenada $x$ del ortocentro $H$ es

$$\dfrac{x_1\tan{\alpha}+x_2\tan{\beta}+x_3\tan{\gamma}}{\tan{\alpha}+\tan{\beta}+\tan{\gamma}}$$

Usando el mismo procedimiento, podemos obtener que la coordenada $y$ del ortocentro $H$ es

$$\dfrac{y_1\tan{\alpha}+y_2\tan{\beta}+y_3\tan{\gamma}}{\tan{\alpha}+\tan{\beta}+\tan{\gamma}}$$

Tenga en cuenta que la tangente de cada ángulo se puede obtener fácilmente usando la ley de los cosenos.

Un método similar se puede utilizar para encontrar las coordenadas de otros puntos, como por ejemplo el baricentro (cuya solución se obtiene trivialmente promediando coordenadas), el circuncentro y el incentro.