Principio de Markov: Sea $ x \in \mathbb{R}$ . Entonces se cumple lo siguiente: \begin{align*} \neg (x = 0) \Longrightarrow \vert x \vert >0. \end{align*}
En la matemática constructiva (sin ley del medio excluido) esto se ve como un axioma, que se desprende del Principio Limitado de Omnisciencia.
¿Pero no hay también una prueba constructiva para el MP? Por ejemplo, en mi opinión lo siguiente es válido:
\begin{align*} \neg (x = 0 ) \Longrightarrow \frac{1}{x} x = 1 \Longrightarrow \vert \frac{1}{x} x \vert = \vert 1 \vert > 0 \Longrightarrow \vert \frac{1}{x} \vert > 0 \wedge \vert x \vert > 0. \end{align*}
Además, para $\neg (x=0)$ dejar $n \in \mathbb{N}$ . Entonces tenemos (por división aproximada) \begin{align*} \vert x \vert > \frac{1}{n} \end{align*} o \begin{align*} \vert x \vert < \frac{1}{2n}. \end{align*}
En el primer caso, MP se mantiene. En el segundo caso, dejando que $ n \longrightarrow \infty$ , produce $\vert x \vert = 0$ Por lo tanto $x = 0$ que es una contradicción.
Evidentemente mi "prueba" tiene que ser errónea en algún momento, pero no veo dónde.
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¿Cuál es su definición de $|\cdot|$ ?
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@Matthew Leingang valor absoluto de un número real. Probablemente algo como $\sqrt (x^2)$ pero en mi texto no hay una definición explícita.
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El problema está probablemente en la relación ">" - supongo que en esta situación $a > 0$ significa que hay un racional $q$ con $a > q > 0$ . No es difícil imaginar una situación en la que $ab = 1$ pero no sabemos que $|a| > 0$ porque no tenemos ninguna idea de cuándo las aproximaciones para $a$ revelará que $a \not = 0$ .
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Tal vez sea útil observar la forma alternativa del principio de Markov: $[\lnot (\forall n \in \mathbb{N}) \lnot P(n) ] \to (\exists n \in \mathbb{N}) P(n)$ donde $P(n)$ es un predicado decidible. Aquí, por ejemplo, $P(n)$ diría que podemos decir de la $n$ aproximación de $x$ que $x \not = 0$ . Creo que el límite en tu argumento sólo esconde la aplicación del principio de Markov: el argumento parece ser que, dado que el límite de algo no puede ser cero, podemos encontrar un paso en el que se garantice que el límite es distinto de cero.
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@Carl me enseñaron, que constructivamente se sostiene lo siguiente: $\vert a b \vert > 0 \Longrightarrow \vert a \vert > 0 \wedge \vert b \vert > 0$ . No estoy muy familiarizado con la formulación básica de MP. Tal vez sea cierto que MP se esconde en algún lugar del límite. Pero, ¿qué pasa con el primer intento?
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Entonces, ¿qué propiedades del valor absoluto tomas como axiomáticas?
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@Matthew Leingang Para ser sincero, creo que ninguno.
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OK, entonces creo que la pregunta no está realmente bien planteada. Parece que estás preguntando si MP es realmente necesario como axioma, o puede derivarse de otras propiedades. El problema es qué otras propiedades . Podría ser que una de las propiedades que utilizas se base en algo equivalente a MP. Hay que establecer las reglas básicas (otros axiomas/propiedades), de lo contrario se corre el riesgo de una lógica circular.
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@Matthew Leingang Este podría ser el caso. He intentado utilizar los números reales tal y como se definen en Techniques of Constructive Analysis de Douglas Bridges. Creo que el mayor problema es la implicación $\vert x y \vert > 0 \Longrightarrow \vert y \vert > 0 \wedge \vert x \vert > 0$ . He visto que muchos autores lo utilizan como herramienta constructiva, pero puede ser cierto que se necesita MP para demostrarlo.
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Acabo de pensar un poco en esta implicación y creo que es suficiente para utilizar la división aproximada: Dejemos que $\vert x y \vert > 0$ . Para mostrar $\vert x \vert > 0$ y $\vert y \vert > 0$ . En primer lugar, $\vert x \vert > 0$ . Sea $\epsilon > 0$ Con la división aproximada obtengo dos casos: Caso 1: $\vert x \vert > \epsilon/2$ por lo que no hay nada que mostrar. Caso 2: $\vert x \vert < \epsilon$ entonces $0 < \vert x y \vert = \vert x \vert \vert y\vert < \epsilon \vert y \vert \Longrightarrow 0 < \vert y \vert \Longrightarrow 0 < \vert x \vert$ , ya que creo que puedo (se me permite) dividir con números positivos.
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@Diamir Pero tú no Sin embargo, saber que el valor absoluto de cualquier cosa menos cero es un número positivo cuando eso es lo que se busca en realidad para demostrar . No se puede aceptar algo como un hecho probado dentro de una prueba de sí mismo. Todo lo que has demostrado es $$\lvert xy\rvert>0 \to (\lvert x\rvert >0 \to \lvert y\rvert >0)$$
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@GrahamKemp No entiendo lo que quieres decir. En mi opinión sí que he mostrado $\vert x y \vert > 0 \Longrightarrow \vert x \vert > 0$ . La prueba de $\vert x y \vert > 0 \Longrightarrow \vert y \vert > 0$ sería de forma análoga.
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@Diamir Has afirmado $\epsilon>0$ Pero, ¿por qué no dejar que $\epsilon<0$ ?
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@GrahamKemp Entiendo lo que quieres decir. Pero no creo que esto importe aquí. Acabo de tomar cualquier $\epsilon > 0$ que no es un problema, y luego utilizó la división aproximada. Creo que es posible asumir que existen números reales > 0. No veo la razón por la que necesito también la distinción $\epsilon < 0$ .
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@Diamir Porque $\lvert x\rvert <0\to (\lvert x y\rvert >0\to\lvert y\rvert <0)$