Tengo esta ecuación:$$y=2+\int_2^x (t-ty(t))dt$ $
Después de resolverlo obtuve la respuesta$-\ln|1-y|=\frac {x^2} 2-2$, aunque el libro tiene la misma respuesta sin el valor absoluto en el logaritmo, ¿por qué es esto posible?
MI:
Intento:
PS
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Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El fundamento para la determinación de la única solución está incrustado en la solución general
$$-\log |1-y|=\frac12(x^2-4)\tag 1$$
Tenga en cuenta que para llegar a $(1)$, que ya se impuso la condición de $y(2)=2$. Por lo tanto, estamos buscando soluciones para que $y$ alcanza el valor de $y=2>1$.
Para resolver este más, vamos a resolver $(1)$$y(x)$, sin considerar el requisito de la condición. Nos encontramos con que
$$y(x)= \begin{cases} 1+e^{-(x^2-4)/2},&y>1 \tag 2\\\\ 1-e^{-(x^2-4)/2},&y<1 \end{casos}$$
tiene varios valores. Tras la inspección, vemos que para $x=2$, sólo la primera ecuación de $(2)$ satisface la condición de $y(2)=2$ o la inicial de la ecuación integral. Que es, por supuesto, la segunda solución debe contar con valores de menos de $1$ y, por lo tanto, nunca alcanzará el valor de $2$.
Por lo tanto, la única solución de la ecuación integral es
$$y(x)=1+e^{-(x^2-4)/2}$$
para que $y>1$.
Finalmente, podemos escribir el equivalente de la solución como
$$-\log(y-1)=\frac12x^2-2$$
sin necesidad de absoluto valor de signo.
