Observación en la dimensión de cociente por prime ideal homogéneo.

Question

Hay una observación cerca del final de una sección que estoy leyendo acerca de Hilbert polinomios que no entiendo.

Deje $K$ ser un campo, y deje $A=K[X_0,\dots,X_N]$ ser un polinomio de anillo, que se clasifica en la forma estándar (los elementos de grado $n$ son polinomios homogéneos de grado $n$). Deje $\mathfrak{a}$ ser homogéneo primer ideal de $A$, e $d$ la dimensión de la correspondiente variedad proyectiva. Por otra parte, vamos a $\chi(n,\alpha)=\dim_K A_n/\mathfrak{a}_n$. Aquí $A_n$ $K$- espacio homogéneo de elementos de $n$$A$, e igualmente para $\mathfrak{a}_n$.

La observación indica que hay algunos $c_d\in\mathbb{N}$, de modo que $$ \chi(n,\mathfrak{a})=c_d\frac{n^d}{d}+c_{d-1}n^{d-1}+\cdots+c_0. $$

Puede alguien explicar por qué tales $c_d$ existe y de esta igualdad se encuentra? Gracias.

Answer 1

Uno puede mostrar que $$\chi(n,(0))=\dim_K A_n=\binom{N+n}{N}$$ dado que este es el número de monomials de grado $n$. Esta es una combinatoria declaración en la que se discute aquí.

Ahora, podemos elegir un gradual, resolución a de la $M:=A/\mathfrak{a}$

$$\cdots\xrightarrow{\quad\phi_2\quad} F_1 \xrightarrow{\quad\phi_1\quad} F_0 \xrightarrow{\quad\phi_0\quad} M \xrightarrow{\quad\quad} 0$$ con $$ F_i = \bigoplus_{j=1}^{r_i} A(-a_{ij})$$ donde $A(-a)$ es el anillo de $A$, grado-desplazado por $a\in\mathbb{Z}$, es decir,$A(-a)_n=A_{n-a}$. Es fácil ver que $$\dim_K A(-a)_n = \binom{N+n-a}{N}$$ y es entonces un fácil cálculo utilizando la exactitud de demostrar que $$\chi(n,\mathfrak{a})=\dim_K M_n = \sum_{i\ge 0} (-1)^i \cdot \sum_{j=1}^{r_i} \binom{N+n-a_{ij}}{N}.$$

Para $n > \max_{ij} (a_{ij}-N)$, el coeficiente binomial $$\binom{N+n-a_{ij}}{N} = \frac{(n+N-a_{ij})(n-1+N-a_{ij})\cdots(1+n-a_{ij})}{N!}$$ es una expresión polinómica en $n$. Nos deja denotar este Polinomio por $P_M(n)$. Ahora queremos mostrar que este polinomio tiene grado igual a la dimensión $d$ de la variedad definida por $\mathfrak{a}$.

Para ello, llevamos a cabo la inducción en la dimensión de $M$. Si $\dim(M)=0$, $M$ es Artinian y un finito-dimensional, graduada $K$-espacio vectorial. Esto significa $P_M(n)=0$ de las grandes suficientemente $n$ y, por lo tanto, $P_M=0$. En la inducción de paso, sabemos que $$\mathrm{codim}(\mathfrak{a})=N+1-\dim(M)\le N,$$ y por lo tanto existe una $x\in A$ no figura en ningún prime que es mínima más de $\mathfrak{a}$. Nos pusimos $\mathfrak{b}:=\mathfrak{a}+(x)$$N:=M/(x)$, lo $\mathrm{codim}(\mathfrak{b})=\mathrm{codim}(\mathfrak{a})+1$. En consecuencia, $\dim(N)=\dim(M)-1$.

La secuencia $$0\to M(-1)\xrightarrow{\,\cdot x\,} M\to N\to 0$$ es exacto (en cada grado) y esto implica $P_M-P_{M(-1)}=P_N$. En otras palabras, $P_N$ es la primera diferencia de $P_M$ y por lo tanto, $\deg(P_N)=\deg(P_M)-1$.

Nota: El polinomio $P_M$ generalmente se llama el Polinomio de Hilbert de el módulo de $M$, mientras que su noción de $\chi(n,\mathfrak{a})$ se refiere a menudo como $H_M(n)$ y llama a la Función de Hilbert. Es importante tener en cuenta que la Función de Hilbert sí es no siempre un Polinomio, pero no está de acuerdo con $P_M$ para grandes valores de $n$.